１６５４年にパスカルとフェルマーの間で取り交わされた往復書簡が近代確率論の始まりと
言われる。その際に、次のような分配問題が扱われた。
問題 Ａ、Ｂの２人が交互に１枚の硬貨を投げる。表が先にｎ回出ればＡの勝ち、裏が先に
ｎ回出ればＢの勝ちとし、勝った方が賞金を総取りする。
ところが、ある事情により、表があと１回出ればＡの勝ち、裏があと２回出ればＢの勝
ちという時点で硬貨投げは中止となってしまった。
このとき、確率的に賞金を公平に分配するにはどうしたらいいだろうか？
問題の意味を理解するために、ｎ＝２として問題を考えてみよう。
問題の状況から、硬貨を１回投げて表が出た時点で中止となった場合である。
（パスカル風の考え方） ２回目の硬貨を投げて表が出ればＡの勝ちだし、裏が出れば、３回
目の硬貨で表が出ればＡの勝ち、裏が出ればＢの勝ちとなるので、
Ａが期待できる賞金額は、
２回目の結果から、賞金額の１/２をもらい、３回目の結果から、賞
金額の１/２のさらに１/２をもらう。
すなわち、 １/２＋（１/２）×（１/２）＝３/４ より、賞金額の３/４を
もらう。
この考え方を現代風に計算すれば次のようになるであろう。
３回硬貨を投げれば勝負は決する。
１回目表が出る確率は、１/２ で、２回目も表が出る確率は、（１/２）×（１/２）＝１/４
２回目が裏で３回目に表が出る確率は、（１/２）×（１/２）×（１/２）＝１/８
よって、Ａが勝つ確率は、 １/４＋１/８＝３/８ である。
ところが、問題文から、１回目が表と判明しているので、
１回目が表であるときのＡが勝つ条件付き確率は、 （３/８）/（１/２）＝３/４ となる。
したがって、賞金額の３/４をＡがもらうのが確率的に公平である。
この（パスカル風の考え方）に対して、フェルマーは次のように解いたと言われる。
（フェルマー風の考え方） 硬貨を高々２回投げれば勝負は決する。実際に、起こり得る場合
は、 表表、表裏、裏表、裏裏 の４通りで、何れも同様に確からし
い。
Ａが賞金をもらえるのは、 表表、表裏、裏表 の３通りあるので、
賞金額の３/４をＡがもらうのが確率的に公平である。
フェルマー風の鮮やかな解答に感嘆される方が多かろう。私自身そうだからである。
読者のために練習問題を残しておこう。パスカルやフェルマーになったつもりで解いてみて
ください。
練習問題 １個のさいころを投げる。その際、３人Ａ、Ｂ、Ｃの得点を次のように定める。
目が１、２ならば、Ａに１点、目が３、４ならＢに１点、目が５、６ならＣに1点
得点合計が先にｎ点になった人の勝ちで、勝った者が賞金を総取りする。
ところが、ある事情により、Ａはあと１点、Ｂ、Ｃはあと２点とれば勝ちという時点
でさいころ投げは中止となってしまった。
このとき、確率的に賞金を公平に分配するにはどうしたらいいだろうか？
問題の意味を理解するために、ｎ＝２として問題を考えてみよう。
問題の状況から、さいころを１回投げて、目が１（または２）が出た時点で中止となった場
合である。
（パスカル風の考え方） ４回さいころを投げれば勝負は決する。各回の得点者を、例えば、
１回目Ａ、２回目Ｂのときは、ＡＢと書くことにする。
１回目に１、２の目が出る確率は、１/３ で、２回目も１、２の目が出る確率、即ち、ＡＡの確
率は、（１/３）×（１/３）＝１/９・・・Ａの勝ち
Ａ（ＢまたはＣ）Ａ の確率は、（１/３）×（２/３）×（１/３）＝２/２７
ＡＢＣＡ または ＡＣＢＡ の確率は、 （１/３）×（１/３）×（１/３）×（１/３）×２＝２/８１
よって、Ａが勝つ確率は、 １/９＋２/２７＋２/８１＝１７/８１ である。
ところが、問題文から、１回目の目が１（または２）と判明しているので、１回目の目が１（ま
たは２）であるときのＡが勝つ条件付き確率は、（１７/８１）/（１/３）＝１７/２７ となる。
したがって、賞金額の１７/２７をＡがもらうのが確率的に公平である。Ｂ、Ｃは確率的に同
等なので、残りの賞金額を折半すればよい。すなわち、Ｂ、Ｃはそれぞれ賞金額の５/２７を
もらえばよい。
（フェルマー風の考え方） さいころを高々３回投げれば勝負は決する。実際に、Ｂが勝者と
なる場合は、ＢＢＡ、ＢＢＢ、ＢＢＣ、ＢＣＢ、ＣＢＢの５通りで、Ｃが勝
者となる場合も５通り。よって、Ａが勝者となる場合の数は、
３3−５−５＝１７（通り）で、何れも同様に確からしい。
よって、賞金額の１７/２７をＡがもらい、賞金額の５/２７をＢ、Ｃが
それぞれもらうのが確率的に公平である。
（参考文献） 岩沢宏和 著 「続 確率パズルの迷宮 パスカル対フェルマー」
（数学セミナー ’１２．４月号 （日本評論社））
（追記） 令和３年６月２７日付け
賞金の公平な分配に関して、次の問題は如何だろうか。
問題 Ａ、Ｂの２人がそれぞれ１０００円ずつ出し合って硬貨投げゲームをした。ゲームに
勝った方が全額２０００円を貰えるものとする。
（ルール） 表が出たらＡに１点を与え、裏が出たらＢに１点与える。先に、５点取った方が
勝ちとする。
ゲームをしてしばらくして、ゲームを終了することになった。そのとき、Ａは４点、Ｂは３点を
得ていた。
ゲーム途中で打ち切りとするとき、２０００円をどう分配するのが公平だろうか？
（解） ゲームをそのまま続けたとして、
Ａが勝つ確率は、 （１/２）＋（１/２）2＝３/４ Ｂが勝つ確率は、 １/４
なので、Ａには、 ２０００×３/４＝１５００（円）、Ｂには、５００円 分配すればよい。 （終）
以下、工事中！