当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ａｔ」さんからの話題提供です。
（平成２６年４月２５日付け）
「Weekend Mathematics」というサイトの コロキウム室に、「バレーボールの得点」と題され
た問題があります。サイドアウト制のバレーボールの試合を題材にした問題です。この問題
の後半の部分をヒントにして、次のような問題をつくってみました。気が向いたら考えてみて
ください。
問題 A、Bの両チームがサイドアウト制のバレーボールの試合を行います。Aチームのサ
ーブで試合が開始されるものとし、両チームの実力は互角とし、両チーム間の各回の
勝率は、サーブ側であるか否かに関係なく Aが5割、Bは5割であるとする。
ただし、この試合では先に 100点 を得点したチームを勝者とします。
(問1) Aチームが勝者となる確率を求めてください。
(問2) この試合で行われるサーブの総数を X とします。X の期待値を求めてください。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年４月２６日付け）
１回サーブ権を得てから失うまでに何点取るかをそれぞれ考えると、ｎ点先取でサーブ権
がｋ往復した上で、ｎ対ｍで、Aが勝つ確率は、
n+k-1Ｃk (1/2)n+k・m+k-1Ｃk-1・(1/2)m+k （ただし、m-1Ｃ-1=0 とする）
つまり、この問題の答えは、
(問1) ∑k=0～∞∑ m=0～99 k+99Ｃk・m+k-1Ｃk-1 (1/2)m+2k+100
(問2) ∑k=0～∞∑m=0～99 (m+2k+100)・k+99Ｃk・m+k-1Ｃk-1 (1/2)m+2k+100
（訂正：問2はBが勝つ可能性も考慮しなきゃいけないのでこれじゃダメでした。）
だと思うのですが、はたして計算できるんでしょうか、これ？機械計算で近似値出すしかな
いですかね？
ａｔ さんからのコメントです。（平成２６年４月２９日付け）
計算することは可能であると思います。近似値ではなく、真の値を機械計算することは可
能であると思います。
例えば、(問1)の答えについてですが、この式は、
∑ m=0～99 k+99Ｃk・m+k-1Ｃk-1・(1/2)m+2k+100
を展開することにより、
∑k=0～∞ kp・(1/4)k (p は 0≦p≦198 なる整数)
という形にかける項たちの一次結合になります。ここで、p≧1のとき、
∑k=0～∞ kp・(1/4)k = (1/4)∑t=1～p∑j=0～t tCj(t-j)p・(3/4)-t-1・(-1)j+p-t
となります。ですから、無限和 ∑k=0～∞∑m=0～99 k+99Ck・m+k-1Ck-1・(1/2)m+2k+100
は、結局、有限和になります。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年４月２９日付け）
なるほど、確かに。しかし、それも人間には不可能そうですね。
∑ m=0～99 m+k-1Ck-1 なんかは計算できるので、∑ m=0～99 m+k-1Ck-1・(1/2)m もどうにか計算
できないかと期待したのですが。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年４月２９日付け）
Mathematica で上記の式を計算させましたら、随分経過した後、
0.51001433439341061773･･･なる値を返してきました。また、問２のサーブ数の期待値は、
188.05795401575723661･･･なる数字でした。
ａｔ さんからのコメントです。（平成２６年５月１８日付け）
私が用意しておいた解答を書いておきます。
AがBより先に m 点を得る確率を P(m) とすると、
P(m)=Σt=0～m-1Σi=0～t ｍＣｉ・ｍ+t-i-1Ｃt-i(-3/4)i(2/3)m+t
どちらかが先に m 点を得るまでに行われるサーブの総数の期待値を E(m) とすると、
E(m)=(1/9m)Σt=0～m-1Σ i=0～t ｍ+t-i-1Ｃt-i 2-2i+m+t-1・3m+i-t-1・(-1)i・((5(m+t)-2i)・(ｍ-1Ｃｉ+2・ｍＣｉ)+3・ｍ-1Ｃｉ)
(1) P(100)=(150518824157897825103205792184724002605408608889957239439845091368
74223567642655087970841837632)
/(2951266543065275214875348022619773631435927251704383288606388463
7676943433478020332709411004889) (答)
(=0.510014334393410617729155900394756445569226750845550770190…)
(2) E(100)=(121039466396505690241814970210214206245683945346177440560322518356
7821487226672250301049790937746)
/(3279185047850305794305942247355304034928808057449314765118209404
186327048164224481412156778321) (答)
(=369.11447396313914895852555698081196675547388470663621454515…)