掛け金の収支　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　あるゲームで、Ｘ 円を掛け金として、勝った場合にＮ倍の払い戻しがあるということは、実際
に増えている金額は、（Ｎ−１）Ｘ 円である。逆に、負けた場合は、当然掛け金のＸ 円は没収さ
れる。このことは、数学的には自分の所持金が、−Ｘ 円増えることを意味する。

　このことに注意して、以下の問題を考えてみよう。

１．　Ｎは、１，２，３，４，５，６　の何れかの数とする。ひとつのさいころを投げて、目の数が Ｎ
　　のとき掛け金は Ｎ 倍に、その他のときは没収されるというゲームを行う。
　　このとき、このゲームの期待金額が、０円となるようなＮの値を求めよ。

　（解）　Ａ 円を掛け金として、目の数が Ｎ となる確率を、Ｐ とおくと、題意から次の等式が成
　　　　り立つ。
　　　　　　　　　　　（Ｎ−１）ＡＰ−Ａ（１−Ｐ）＝０　　すなわち、　ＮＰ＝１

　　　　ひとつのさいころを投げたとき、起こり得る全ての場合は、６通りで、目の数が Ｎ となる
　　　　場合の数を、Ｘ　とすれば、上記の式は、
　　　　　　　　　　　　　　　　　ＮＸ＝６
　　　　と書き直すことが出来る。

　　左の表から分かるように、ＮＸ＝６　を満たす場合は、
　　　　　　　　　Ｎ＝６
　の場合しかない。

２．　Ｎは、２以上１２以下の整数の何れかの数とする。２つのさいころを投げて、目の数の和
　　が Ｎ のとき掛け金は Ｎ 倍に、その他のときは没収されるというゲームを行う。
　　このとき、このゲームの期待金額が、０円となるようなＮの値を求めよ。

　（解）　１．と同様に考えて、等式　ＮＸ＝３６　を満たすようなＮを求めればよい。

　　　左の表より、求めるＮの値は、
　　　　　　Ｎ＝９
　　である。

　同じような問題を、さいころが３個の場合、４個の場合についても考えようとしたが、次の表
からも分かるように、ゲームの期待金額が、０ 円になる場合はないようである。

　　ＮＸ＝２１６

　　　ＮＸ＝１２９６




　さいころの個数が ５ 以上の場合について、ゲームの期待金額が、０ 円になる場合は果た
して起こり得るのだろうか？今後の研究課題としたい。