当ＨＰの読者のＫ．Ｓ．さんより、平成２４年４月１日付けで標記話題をメールで頂いた。
意外な結果でよく知られているかもしれませんが、具体的な対応関係が面白いと思います。
ｍ次以下のｎ変数の独立な項の個数と、ｎ次以下のｍ変数の独立な項の個数が等し
い。但し、定数項を含むものとする。
例 ３次以下の２変数 ｘ、ｙ の独立な項として、
１、ｘ、ｙ、ｘ2、ｘｙ、ｙ2、ｘ3、ｘ2ｙ、ｘｙ2、ｙ3 の計１０個
２次以下の３変数 ｘ、ｙ、ｚ の独立な項として、
１、ｘ、ｙ、ｚ、ｘ2、ｙ2、ｚ2、ｘｙ、ｙｚ、ｚｘ の計１０個
（証明） ｍ次以下のｎ変数の項は、
「１、ｘ1、ｘ2、・・・、ｘｎ から重複を許してｍ個とる組合せ」
の数に等しいので、全部で、ｎ+1Ｈｍ＝ｎ+ｍＣｍ＝（ｎ＋ｍ）！/（ｎ！ｍ！）個ある。
同様にして、ｎ次以下のｍ変数の項は、ｍ+1Ｈｎ＝ｎ+ｍＣｎ＝（ｎ＋ｍ）！/（ｎ！ｍ！）個ある。
以上から、命題は示された。 （証終）
上記のように、命題は直接証明が可能ですが、Ｋ．Ｓ．さんからは、数学的帰納法による
証明を頂きました。
（別証） まず、次の補題を、ｎ を固定して、ｍ に関する数学的帰納法で示す。
補題： ｍ次以下のｎ変数の項は、ｍ+ｎＣｎ＝（ｍ＋ｎ）！/（ｍ！ｎ！） で表される。
（補題の証明） ｍ＝０ のとき、定数項のみなので、項数は、１。一方、ｎＣｎ＝１
よって、ｍ＝０ のとき、補題は成り立つ。
ｍ≦ｋ （ｋ は、０以上の整数）について、補題が成り立つものと仮定する。
すなわち、ｋ次以下のｎ変数の項は、ｋ+ｎＣｎ＝（ｋ＋ｎ）！/（ｋ！ｎ！）個
ｋ＋１次の項は、ｘ1c1ｘ2c2・・・、ｘｎcn （ｃ1＋ｃ2＋・・・＋ｃｎ＝ｋ＋１ 、ｃｉ≧０） より、
ｋ+1Ｈｎ-1＝ｋ+1+ｎ-1Ｃｎ-1＝ｋ+ｎＣｎ-1 個
となるので、ｋ＋１次以下のｎ変数の項は、ｋ+ｎＣｎ＋ｋ+nＣｎ-1＝ｋ+1+ｎＣｎ個となる。
よって、ｍ＝ｋ＋１ のときも補題は成り立つ。
以上から、全てのｍについて、補題は成り立つ。 （補題証終）
そこで、補題から、 ｍ+ｎＣｎ＝ｍ+ｎＣｍ＝ｎ+ｍＣｍ が成り立つので、
ｍ次以下のｎ変数の独立な項の個数と、ｎ次以下のｍ変数の独立な項の個数が等しい。
（別証終）
具体的な対応関係を考えると、
（１） 辞書式に並べる。
（２） まず、添え字の部分を並べ、更に、次数の部分を並べることにする。
ｘｉ1c1ｘｉ2c2・・・、ｘｉｎcn、ｘｊ1ｄ1ｘｊ2ｄ2・・・、ｘｊｎｄn において、
ｉ1＝ｊ1、・・・、ｉｈ＝ｊｈ ならば、ｉｈ+1＜ｊｈ+1
ｉ1＝ｊ1、・・・、ｉｎ＝ｊｎ で、ｃ1＝ｄ1、・・・、ｃｈ＝ｄｈ ならば、ｃｈ+1＜ｄｈ+1
以下で、ｘｉ1c1ｘｉ2c2・・・、ｘｉｎcn を、｛｛ｃ1 ・・・ ｃｎ｝，｛ｉ1 ・・・ ｉｎ｝｝と表すことにする。
「同じ個数の変数は、それぞれ同個数ずつある。」
１変数のとき、 ｛｛ｋ｝，｛ｉ｝｝ → ｛｛ｉ｝，｛ｋ｝｝
（例） ｎ個の変数 ｘ1、ｘ2、・・・、ｘｎ のうちの１変数、例えば、ｘ1 について、
ｘ12 → ｘ21＝ｘ2 が対応する。
２変数のとき、 ｛｛ｋ1，ｋ2｝，｛ｉ1，ｉ2｝｝ → ｛｛ｉ1，ｉ2−ｉ1｝，｛ｋ1，ｋ1+ｋ2｝｝
（well-defined）
（例） ｎ個の変数 ｘ1、ｘ2、・・・、ｘｎ のうちの２変数、例えば、ｘ1、ｘ2 について、
ｘ12ｘ2 → ｘ21ｘ31＝ｘ2ｘ3 が対応する。
３変数のとき、ｉ1＜ｉ2＜ｉ3 に注意して、
｛｛ｋ1，ｋ2，ｋ3｝，｛ｉ1，ｉ2，ｉ3｝｝ → ｛｛ｉ1，ｉ2−ｉ1，ｉ3−ｉ2｝，｛ｋ1，ｋ1+ｋ2，ｋ1+ｋ2+ｋ3｝｝
（well-defined）
これらの対応は、逆も成り立つので、１対１対応になる。変数が多い場合も同様に定義で
きる。具体的に見ると、
（例） ｎ個の変数 ｘ1、ｘ2、・・・、ｘｎ のうちの２変数、例えば、ｘ1、ｘ2、ｘ3 について、
ｘ12ｘ24ｘ31 → ｘ21ｘ61ｘ71 → ｘ12ｘ24ｘ31 が対応する。
この対応は、順序を保存する。この対応により、
ｍ変数ｎ次以下の項と、ｎ変数ｍ次以下の項が、同じ変数の個数同士で、
１対１に対応している
ことが分かる。他に、どのような対応があるでしょうか？
例 ３次以下の２変数 ｘ、ｙ の独立な項として、
１、ｘ、ｙ、ｘ2、ｘｙ、ｙ2、ｘ3、ｘ2ｙ、ｘｙ2、ｙ3 の計１０個
２次以下の３変数 ｘ、ｙ、ｚ の独立な項として、
１、ｘ、ｙ、ｚ、ｘ2、ｙ2、ｚ2、ｘｙ、ｙｚ、ｚｘ の計１０個
であった。上記の対応関係によれば、
１ → １ 、ｘ → ｘ 、ｙ → ｘ2 、ｘ2 → ｙ 、ｘｙ → ｘｙ 、ｙ2 → ｙ2
ｘ3 → ｚ 、ｘ2ｙ → ｙｚ 、ｘｙ2 → ｚｘ 、ｙ3 → ｚ2
と、１対１に対応する。