回文数                          戻る

 上下(または左右)どちらから読んでも同じ文になる詩歌・語句を回文(かいぶん、または、
かいもん)という。

 たとえば、「新聞紙(しんぶんし)」、「竹薮焼けた(たけやぶやけた)」などがよく知られてい
る。

 このような話を私の周りの人に喧伝したら、次のような回文をスラスラ言われる方がいら
れて、思わず感動してしまった。

       長き夜の 遠のねぶりの 皆目覚め
       波乗り船の 音の良きかな


 (1月2日の初夢でいい夢を見るために七福神の乗った宝船の絵を枕の下に入れて寝るという風習が
  ある。その絵には、この回文が書かれているらしい。そんな話を落語の桂 文枝師匠より伺った。
                                            (平成27年1月11日付け
))

       流る雪 春日に昼は 消ゆるかな

 また、「君のひとみは10000ボルト」などのキャッチコピーで著名なコピーライターの土屋
耕一さんは、

       軽い機敏な仔猫何匹いるか

という回文を発表されている。(土屋さんは、平成21年3月27日に亡くなられた。78歳)

 以前、仙台の奥座敷と言われた作並温泉は、回文の里としても有名である。

      みな草の名は百としれ薬りなり
       すくれしとくは花のさくなみ


と書かれた道標(看板)が道沿いに立てられている。江戸時代の回文師、仙代庵(細屋勘左
衛門)が作並温泉を詠んだものとのことである。回文の全国大会が毎年2月第3土・日曜に
行われ、その優秀作品は、回文の碑が立てられた回文橋たもとに展示されるという。

 もっと気軽な回文も身近に存在する。例えば、「Aでエエ」、「まさか逆さま」、・・・

 このような言い回しは、英語にもあるようだ。有名なものとして、

 Madam,I’m Adam. And Able was I ere I saw Elba
   (マダム、私はアダム。そうして、エルバを見るまではできた。)

                       −James Joyce 著 Ulysses(Paris 1922)より
があげられる。
平成27年1月13日付けで、通りすがりさんから「Madam」のスペルミスをご教示頂きました。上記は
 修正済みです。通りすがりさんに感謝します。



 数学において、このような性質を持つ数のことを、回文数という。詩歌・語句の場合とは違
って、このような回文数は、任意に作られる。

  たとえば、12321、2222、・・・。

 しかし、ある性質を満たす回文数を作ることは、非常に難しい。

例 ある6桁の回文数は、95で割り切れ、しかも、その商も回文数になるという。
  このような回文数をすべて求めよ。

                       (算数オリンピック’95 (読売新聞 1995.7.16 付朝刊より)

 求める回文数は、 a・105+b・104+c・103+c・102+b・10+a  とおける。

ただし、 a、b、c は、1≦a≦9、0≦b≦9、0≦c≦9 を満たす整数とする。

 このとき、 a・(105+1)+b・(104+10)+c・(103+102) において、

          105+1≡61 (mod 95)
          104+10≡35 (mod 95)
          103+102≡55 (mod 95)

が成り立つので、 (→ 合同(≡)については、こちらを参照)

 a・105+b・104+c・103+c・102+b・10+a≡61a+35b+55c (mod 95)

問題の条件より、左辺は、95で割り切れるので、 61a+35b+55c≡0 (mod 95)

となる。従って、整数 k を用いて、 61a+35b+55c=95k と書ける。

 ここで、61=95−34、55=95−40 なので、 −34a+35b−40c=95k としても、

一般性は失われない。このとき、 −34a=−35b+40c+95k において、右辺は5で割

り切れ、5と61は互いに素なので、aは、5の倍数となる。

 よって、1≦a≦9 より、a=5 となる。

 いま、−170=−35b+40c+95k の両辺を5で割って、−34=−7b+8c+19k

として考える。このとき、 7b−8c=19k+34 (0≦b≦9、0≦c≦9) なので、

     −72≦7b−8c≦63

である。 よって、−72≦19k+34≦63 より、−106≦19k≦29

この不等式を満たす整数kは、k=−5、−4、−3、−2、−1、0、1 の7通り。

 k=−5 のとき、7b−8c=19k+34=−61 を満たす b、c は存在しない。

 k=−4 のとき、7b−8c=−42 を満たす b、c は、b=2、c=7

 このとき、回文数は 527725 で、この数を95で割った商は、5555 で確かに回文数

である。

 k=−3 のとき、7b−8c=−23 を満たす b、c は、b=7、c=9 で、このとき、回

文数は 579975 で、この数を95で割った商は、6105 で回文数にならない。

 k=−2 のとき、7b−8c=−4 を満たす b、c は、b=4、c=4 で、このとき、回文

数は 544445 で、この数を95で割った商は、5731 で回文数にならない。

 k=−1 のとき、7b−8c=15 を満たす b、c は、b=9、c=6 で、このとき、回文

数は 596695 で、この数を95で割った商は、6281 で回文数にならない。

 k=0 のとき、7b−8c=34 を満たす b、c は、b=6、c=1 で、このとき、、回文

数は 561165 で、この数を95で割った商は、5907 で回文数にならない。

 k=1 のとき、7b−8c=53 を満たす b、c は存在しない。

 以上の計算から、所要の条件を満たす回文数は、527725 のただ一つである。

(注意:上記解法は、2002.10.27 に初めてアップロードされたが、その後、塾生達に
    よる精査の結果、不備が発見された。その不備を修正するとともに、不備を発見した
    塾生達に感謝したい。上記は修正済み。)


 DD++からのコメントです。(平成27年1月13日付け)

 上記の問題、そんな複雑な解き方しなくても、以下であっさり答えが出ませんか?

(解) この回文数は95の倍数なので、5の倍数でもある。回文数の末尾は0ではありえない

  ので、十万の位と一の位の数は、5である。これを、95で割った数は、

  500005/95 = 5263.2 以上で、599995 / 95 = 6315.7 以下の奇数の回文数なので、

   5335、5445、5555、5665、5775、5885、5995 のいずれか。

 このうち、95をかけても回文数なのは、5555のみなので、元の数は、

   5555×95=527725


(コメント) なるほど!分かりやすいですね。DD++さんに感謝します。


例 ある8桁の回文数は、1995で割り切れるという。
  このような回文数をすべて求めよ。

                    (算数オリンピック’95 (読売新聞 1995.7.16 付朝刊より)

 求める回文数は、

    a・107+b・106+c・105+d・104+d・103+c・102+b・10+a

とおける。ただし、a、b、c、d は、1≦a≦9、0≦b≦9、0≦c≦9 、0≦d≦9 を満たす整
数とする。

 このとき、 a・(107+1)+b・(106+10)+c・(105+102)+d・(104+103) において、

          107+1≡1061 (mod 1995)
          106+10≡515 (mod 1995)
          105+102≡350 (mod 1995)
          104+103≡1025 (mod 1995)

が成り立つので、

    a・107+b・106+c・105+d・104+d・103+c・102+b・10+a
   ≡1061a+515b+350c+1025d (mod 1995)

問題の条件より、左辺は、1995で割り切れるので、

          1061a+515b+350c+1025d≡0 (mod 1995)

となる。従って、整数 k を用いて、 1061a+515b+350c+1025d=1995k と書

ける。 このとき、 1061a=−515b−350c−1025d+1995k において、右辺は

5で割り切れ、5と1061は互いに素なので、aは、5の倍数となる。

 よって、1≦a≦9 より、a=5 となる。

 いま、1061・5+515b+350c+1025d=1995k の両辺を5で割って、

          1061+103b+70c+205d=399k

として考える。この式は、次のように変形される。

          103(b+12−3k)=−70c−205d+175+90k

 上式の右辺は5で割り切れ、5と103は互いに素なので、b+12−3kは、5の倍数とな

る。よって、整数 m を用いて、b+12−3k=5m すなわち、b=5m+3k−12 となる。

このとき、

 103m+14c+41d−35−18k=0 すなわち、14c+41d=−103m+18k+35

条件より 0≦b≦9 なので、

    0≦5m+3k−12≦9 すなわち、12≦5m+3k≦21・・・(*)

同様に、0≦c≦9 、0≦d≦9 なので、0≦14c+41d≦495 である。

 よって、0≦−103m+18k+35≦495 すなわち、−35≦−103m+18k≦460

(*) より、−126≦−30m−18k≦−72 なので、上式と辺々加えて、

             −161≦−133m≦388

この式を満たす整数mは、m=−2、−1、0、1 の4通りある。

m=−2 のとき、12≦−10+3k≦21 すなわち、22≦3k≦31 で、k=8、9、10

  このとき、等式 14c+41d=18k+241 を満たす k、c、d を求めれば、

  k=8、c=7、d=7 すなわち、b=2 である。

m=−1 のとき、12≦−5+3k≦21 すなわち、17≦3k≦26 で、k=6、7、8

  このとき、等式 14c+41d=18k+138 を満たす k、c、d を求めれば、

  k=6、c=0、d=6 すなわち、b=1 である。

m=0 のとき、12≦3k≦21 すなわち、4≦k≦7 で、k=4、5、6、7

  このとき、等式 14c+41d=18k+35 を満たす k、c、d を求めれば、

  k=5、c=6、d=1 すなわち、b=3 である。

m=1 のとき、12≦5+3k≦21 すなわち、7≦3k≦16 で、k=3、4、5

  このとき、等式 14c+41d=18k−68 を満たす k、c、d は存在しない。

以上の計算から、所要の条件を満たす回文数は、

         52777725   51066015   53611635

の3通りである。


 回文数について問う中学入試問題もある。

 次の問いに答えよ。

(1) 5を掛けると回文数になる3桁の整数のうち最大のものを求めよ。

(2) 15で割り切れる3桁の回文数のうち最大のものを求めよ。

(3) 15で割り切れ、その商が回文数になる4桁の回文数を求めよ。


(解) (1) 3桁の整数に 5 を掛けて回文数ということから、末位が5である回文数のうち、

       5*5 の形のみが起こり得る。

        よって、最大の回文数は、595 なので、求める3桁の整数は、

           595÷5=119

        (追記) この話題は、平成20年7月6日放送の
               「熱血!平成教育学院」(フジTV系)で取り上げられた。

            マス北野先生の

              鳩だ!まさかイカサマだとは

            という回文には驚きました。

    (2) 求める回文数は、15で割り切れるので、3の倍数かつ5の倍数となる。

       よって、5*5 の形の数が、3の倍数になるためには、 *=2、5、8

       したがって、条件を満たす最大の回文数は、 585

    (3) 求める4桁の回文数は、15で割り切れるので、3の倍数かつ5の倍数となる。

       よって、5**5 の形の数が、3の倍数になるためには、

           *+* = 2 、 5 、 8 、 11 、 14 、 17

       したがって、 * = 1 、 4 、 7 となる。

        このとき、

           5115÷15=341 、 5445÷15=363 、 5775÷15=385

       なので、条件を満たす4桁の回文数は、 5445 である。  (終)

(コメント) 問題文から受ける重い雰囲気とは打って変わって、約数・倍数の知識を問う良
      問に仕上がっていますね!作問者に敬意を表します。

(追記) 平成21年9月15日付け

 上記で、数学の場合、詩歌・語句の場合とは違って、12321のような回文数は、任意に
作られるという話をしたが、それではさすがに味気ない。ある操作をして初めて回文数にな
るという条件で考える方が何となく数学的だ。

 最近、そんなことを思っていたら、次の事実が成り立つらしいことを知る機会があった。

   どんな数も、逆順の数を加えることを繰り返すと、

             ほとんど7回以下の操作で回文数になる


 実際に、例えば、「19」については、

     19+91=110 、 110+011=121

なので、2回の操作により回文数になる。

 一方、「89」が回文数になるまでは、24回の操作が必要である。

 実際に、演算結果のみ示すと、

 
  89
187
968
1837
9218
17347
91718
173437
907808
1716517
10 8872688
11 17735476
12 85189247
13 159487405
14 664272356
15 1317544822
16 3602001953
17 7193004016
18 13297007933
19 47267087164
20 93445163438
21 176881317877
22 955594506548
23 1801200002107
24 8813200023188

(参考文献: ロブ・イースタウェイ 著  岩谷 宏 訳
                        わくわくする数学  (ソフトバンク クリエイティブ))

(コメント) 全ての自然数に対して本当に、この事実が正しいのか未だ確認していません。
      一般的証明は可能なのでしょうか?


 DD++さんからの話題です。(平成27年1月12日付け)

 今年は、2015年(平成27年)ですが、

   2015(=2 11111011111) 、27(=2 11011)

と、2進法では回文数となります。前と次はいつなんだろう?


 らすかるさんからのコメントです。(平成27年1月12日付け)

 2015の次は、2047、前は、1967

 27の次は、31、前は、21

 西暦も和暦も両方という意味ならば、

次は、平成325年(西暦2313年)  (→ これはあり得ませんね。)

前は、天明7年(西暦1787年)で、その前は、宝暦5年(西暦1755年)、

その前は、延宝3年(1675年)、… となります。

 明治より前は和暦がちょくちょくリセットされていましたので、確率は高いですね。


 DD++さんからのコメントです。(平成27年1月13日付け)

 らすかるさん、調査いただきありがとうございます。両方なるのは明治以前でもけっこう間
があくのですね。そもそも西暦が二進法回文数になることがおよそ32年に1回なことを思え
ば妥当な間隔なのかもしれませんが...。


(コメント) 回文数という視点でも、今年「2015年(平成27年)」は特別にめでたい年なん
      ですね!

 2015=5×13×31と素因数分解され、2015+1は、5+1、13+1、31+1で割り切
れるという性質を持つ数も、遡ると935年で、平将門の乱の年。次の年は、2915年という。

 この性質に優るとも劣らない性質ですね。


 GAI さんからのコメントです。(平成27年1月12日付け)

 「1023456987896543201」は、0〜9の10個の数字を含む最小の回文素数です。


 数々の和さんからの質問です。(平成27年1月14日付け)

 2進数の回文数が話題になっているので、以前から疑問に思っていることを質問します。

 1と9は平方数であり、2進法で表すと、「1」および「1001」となって回文数である。平方
数で、2進法で表すと回文数になるような数がほかにあるでしょうか?

 いろいろ試してみましたが、なさそうに思えますが、ないことの証明もできません。どなたか
いい解決方法を教えてください。


 らすかるさんからのコメントです。(平成27年1月15日付け)

 プログラムを作って最初の方を調べ、結果を検索したら、「A003166」にありました。(2乗
する前の値です)つまり、1、9の次は、

  45232=20457529=21001110000010100000111001

ですね。


(コメント) 私も手計算でやろうとしましたが、らすかるさんからの情報で、それが無謀であ
      ることを痛感しました!らすかるさんに感謝します。


 数々の和さんからのコメントです。(平成27年1月16日付け)

 らすかるさん、ありがとうございました。


 GAI さんから回文数の調査依頼をいただきました。(平成28年3月2日付け)

 逆から数字を読んでも同じ数になる数を「回文数」と呼ぶ。(例 123464321)

(1)同じ数を3,7,8,10進数で表しても「回文数」となる10進数で10以上の最小の数は何?

(2)同じ数を4,8,9,10進数で表しても「回文数」となる10進数で10以上の最小の数は何?

(3)同じ数を2,4,10進数で表しても「回文数」となる10進数で10以上の最小の数は何?

(4)同じ数を2,8,10進数で表しても「回文数」となる10進数で10以上の最小の数は何?

(5)同じ数を6,9,10進数で表しても「回文数」となる10進数で10以上の最小の数は何?

(6)同じ数を3,6,10進数で表しても「回文数」となる10進数で10以上の最小の数は何?

*なおいくつも存在する場合はなるだけ多く見つけてほしい。


 らすかるさんからのコメントです。(平成28年3月2日付け)

 10〜999999999999999999で条件を満たすものは

(1) 121
(2) 373
(3) 53235 、5259525
(4) 585 、719848917
(5) 191
(6) 74647

だけのようです。意外に少ないですね。では、私からも一つ改変問題。

(7)同じ数を3,5,10進数で表しても「回文数」となる10進数で10以上の最小の数は何?


(コメント) 121は、3進法で 11111、7進法で 232、8進法で 171 なんですね!


 GAI さんからのコメントです。(平成28年3月3日付け)

 10〜999999999999999999の範囲で6つのパターンをすべて終了できるプログラムってどん
な工夫がされているのかが驚異です。2,4,10進数で2つの解がみつかり、他のパターンでは
一つしか見つけられなかったので、なんとかもう一つ存在してもおかしくないとは思いながらも
範囲をどれほど広げればいいのかが検討がつけられず、探したい気持ちとこれ以上範囲を
広げても見つからないような不安(時間が足りない)が入り交じったモヤモヤ感があったので
出題しておりました。

 この範囲でもこれだけかと安心しました。2,8,10進数ではあと少し範囲を広げておけば探し
出せたかもしれませんでした。でも未知のものを探すって勇気がいりますね。

 ある程度らすかるさんのパターンのものが存在するのか挑戦していて、反応が返って来な
かったので出題文からは除いていたんですが、結構大きな数で待ち構えているんですね。

 3日間くらいの覚悟で挑戦してみます。


 GAI さんからのコメントです。(平成28年3月8日付け)

 3,5,10進数で回文数となるものを3日間ほどコンピュータで走らせていましたが、つたないプ
ログラムで調査しているのでどの大きさの数まで調べているのか不明ですが、メモリーが不
足しているのか、もう計算するのがいやみたいで反応しなくなりました。よろしかったら、その
数を教えて下さい。


 らすかるさんからのコメントです。(平成28年3月8日付け)

 答えは、27711772 です。(3)の5259525(これは見つかったんですよね?)の5倍程度なの
で、あっさり見つかると思ったのですが、なぜ見つからなかったのでしょうね。ひょっとして、
他の答えは全部奇数桁なので、偶数桁にうまく対応できていなかったのでしょうか。


 GAI さんからのコメントです。(平成28年3月8日付け)

 そのひょっとしての誤りでした。他のパターンを探していたプログラムでそのまま走らせてい
たので奇数だけを走る検索をやり続けていました。改めて組み直すと2分43秒ほどで出現し
ました。


 らすかるさんからのコメントです。(平成28年3月8日付け)

 ちなみに、10〜999999999999999999の範囲で、10進の他に2進〜9進のうちの二つ以上で
回文数となるものは、

55 (4,6,10) 、121 (3,7,8,10) 、191 (6,9,10) 、242 (3,7,10) 、282 (5,9,10) 、292 (7,8,10)
373 (4,8,9,10) 、585 (2,8,10) 、656 (3,9,10) 、53235 (2,4,10) 、74647 (3,6,10)
5259525 (2,4,10) 、27711772 (3,5,10) 、719848917 (2,8,10)

の14個しかありませんでした。


  以下、工事中!