円周率πが無理数であること　　　　　　　　　　　　　　　　　

　円周の長さの直径に対する比を表す円周率は古くから数学の対象になっていた。円周率
に対して、「π」という記号を初めて使ったのはオイラーで、πの値を正確に記述したのは、
１６世紀のフランス人数学者フランソファ・ヴィエタである。

　πの値は、３．１４１５９２６５３５８９７９３２３８４・・・・であるが、πの真の値に近い分数とし
て、「３５５/１１３」がよく知られている。πの値を正確に表す方法は、その後いろいろ発見さ
れたが、１７６１年ドイツ人数学者ヨハンランベルトによって、「πは有理数でない」ということ
が証明された。

　コンピュータ時代の幕開けとともにπの計算は、コンピュータの性能評価に用いられ、詳し
くその値が求められるようになった。１９７４年コンピュータにより、初めて小数点以下１００万
位が求められた。因みに、その値は「１」であった。「πは無理数である」ことに対して、次の
ような証明が知られている。

　関数 Ｆ（ｘ）＝ｘ^ｎ（１−ｘ）^ｎ を考える。２項定理を用いて、

　　Ｆ（ｘ）＝_ｎＣ₀ｘ^ｎ−_ｎＣ₁ｘ^ｎ+1＋・・・＋（−１）^ｎ_ｎＣ_ｎｘ^2ｎ

となるから、第ｎ次導関数を Ｆ⁽ⁿ⁾（ｘ） で表すとき、

　ｋ＜ｎ ならば、　Ｆ^(ｋ)（０）＝０

　ｎ≦ｋ≦２ｎ ならば、　Ｆ^(ｋ)（０）＝（−１）^k-ｎ_ｎＣ_k-ｎｋ！

が成り立つ。同様にして、

　　Ｆ（ｘ）＝（−１）^ｎ（ｘ−１）^ｎ（（ｘ−１）＋１）^ｎ
　　　　　 ＝（−１）^ｎ（_ｎＣ₀（ｘ−１）^ｎ＋_ｎＣ₁（ｘ−１）^ｎ+1＋・・・＋_ｎＣ_ｎ（ｘ−１）^2ｎ）

　ｋ＜ｎ　ならば、　Ｆ^(ｋ)（１）＝０

　ｎ≦ｋ≦２ｎ　ならば、　Ｆ^(ｋ)（１）＝（−１）^ｎ_ｎＣ_k-ｎｋ！

　以上から、全てのｋ（０≦ｋ≦２ｎ）に対して、次のことが成り立つ。

　　Ｆ^(ｋ)（０）＝ｎ！ａ_ｋ　、Ｆ^(ｋ)（１）＝ｎ！ｂ_ｋ　（但し、ａ_ｋ、ｂ_ｋは整数）

このとき、　Ｉ＝∫₀¹ Ｆ（ｘ）ｓｉｎπｘｄｘ　に対して、部分積分を繰り返すことにより

　Ｉ＝（Ｆ（0）+Ｆ（1））/π-（Ｆ⁽²⁾（0）+Ｆ⁽²⁾（1））/π³+・・・+（-1）^ｎ（Ｆ⁽²ⁿ⁾（0）+Ｆ⁽²ⁿ⁾（1））/π²ⁿ⁺¹

となるので、ａ_ｋ＋ｂ_ｋ＝ｃ_ｋ　と置くと、ｃ_ｋ は整数で、

　Ｉ＝ｎ！（ｃ₀−ｃ₂/π²＋・・・＋（−１）^ｎｃ_2n/π²ⁿ）/π

　今、πが有理数と仮定すると、π²も有理数で、π²＝ｑ/ｐ　（ｐ、ｑは互いに素な正の整数）
と書ける。このとき、

　　Ｉ＝ｎ！（ｃ₀−ｃ₂ｐ/ｑ＋・・・＋（−１）^ｎｃ_2nｐ^ｎ/ｑ^ｎ）/π　より、

　　（πｑ^ｎ/ｎ！）Ｉ＝ｃ₀−ｃ₂ｐ/ｑ＋・・・＋（−１）^ｎｃ_2nｐ^ｎ

が成り立つ。ここで、左辺は正の数で、右辺は整数だから、　（πｑ^ｎ/ｎ！）Ｉ≧１　となる。

このとき、ｌｉｍ_ｎ→∞ｑ^ｎ/ｎ！＝０　より、　０≧１となり、これは矛盾である。

よって、πは無理数である。

（参考文献：鈴木昌和　著　Ｑｕｉｃｋ　Ｎｏｔｅ　ｖｅｒ．４（日本評論社））