このページは、日頃からお世話になっている広島工業大学の大川研究室が出題した数学
の演習問題に対する解答をまとめたものである。興味を引く問題も多数含まれるので、一般
の方も是非挑戦してほしいと思う。
数学演習
このページは、日頃からお世話になっている広島工業大学の大川研究室が出題した数学
の演習問題に対する解答をまとめたものである。興味を引く問題も多数含まれるので、一般
の方も是非挑戦してほしいと思う。
| 回 | １ | ２ | ３ | ４ | ５ | ６ | ７ |
| 内容 | 不等式 | 連続・不連続 | 極限 | 微分１ | 微分２ | 逆関数 | 導関数 |
| 回 | ８ | ９ | １０ | １１ | １２ | １３ | １４ |
| 内容 | 極限値 | テイラー展開 | 極値・級数 | 不定積分 | 定積分 | 面積・長さ | 広義積分 |
問題１．１ 次の集合を２通りの表し方で表せ。
ｎ が３以上７以下の自然数のとき、ｎ2 で表される数の全体
（答） ｛９，１６，２５，３６，４９｝ または ｛ ｘ | ｘ＝ｎ2 ただし、ｎは自然数で、３≦ｎ≦７｝
問題１．２ 次の条件を満たす ｘ の集合を区間（の和集合）を用いて表せ。
（１） | ｘ−５|＜３ （２） ｘ2 ＞４
（答） （１） 開区間 （２，８） （２） 開区間 （−∞，−２）∪（２，∞）
問題１．３ 次の等式が ｘ についての恒等式になるように ａ ， ｂ ， ｃ を定めよ。
（答） 通分して、分子を比較すれば、（ａ＋ｂ）ｘ2＋ｃｘ＋ａ＝１ より、ａ＝１，ｂ＝−１，ｃ＝０
問題１．４ 次の不等式を解け。
| （答） | 不等式を等式に変え、分母を払って、両辺を平方すれば、 （ｘ＋２）2＝１６（ｘ−１） この２次方程式の解は、 (ｘ−２)(ｘ−１０)＝０ より、ｘ＝２，１０ したがって、左図より、解は、 ２＜ｘ＜１０ |
 |
問題１．５ 次の不等式を証明せよ。（ ａ，ｂ は実数） ： |ａｂ|≦(9/2)ａ2＋(1/18)ｂ2
（答） 相加平均と相乗平均の関係から、右辺≧２√（(9/2)ａ2・(1/18)ｂ2）＝左辺
等号成立は、９ａ＝ｂ のときに限る。
問題１．６ 次の数列の極限値を求めよ。
| （１） |  |
（２） |  |
（３） |  |
| （４） |  |
（５） |  |
||
（答） （１） ３/２ （２） ０ （３） ＋∞ （４） １６ （５） １/２
問題１．７ 次の集合を求めよ。
（１） （１，５）∩［２，８］ （２） ｛［１，３］∪（０，８）｝∩［−１，９］
（３） ［３，１１）∩［０，７）∩（２，９］
（答） （１） ［２，５） （２） （０，８） （３） ［３，７）
問題１．８ １≦ｘ≦８，−３＜ｙ＜２ のとき、ｘ−ｙ2 はどの範囲にあるか？
（答） ０≦ｙ2＜９ より、−９＜ｙ2≦０ したがって、−８＜ｘ−ｙ2＜８
問題１．９ （ ← この問題は面白かったです．．．。）
（１） 正の実数 ｘ を小数表示し、小数第２位を四捨五入して得られた数の小数第１位を
四捨五入して得られた数が丁度３になった。元の ｘ はどの範囲にあるか？
（２） 正の実数 ｘ を小数表示し、その数を５倍してから小数第２位を切り捨てて得られた
数を７で割った数の小数第１位を切り上げて得られた数が丁度３になった。元の
ｘ
はどの範囲にあるか？
（答） （１） 正の実数 ｘ を小数表示し、小数第２位を四捨五入して得られた数を、ｙ とお
くと、題意より、ｙ は、２．５，２．６，・・・，３．４ のいずれか。
したがって、求める ｘ の範囲は、
［２．４５，２．５５）∪［２．５５，２．６５）∪・・・∪［３．３５，３．４５）
＝［２．４５，３．４５）
すなわち、 ２．４５≦ ｘ ＜３．４５ が求める ｘ の範囲である。
（２） 正の実数 ｘ を小数表示し、その数を５倍してから小数第２位を切り捨てて得ら
れた数を、ｙ とおく。題意より、 ２．１≦ ｙ/７ ≦３ なので、
１４．７≦ ｙ ≦２１
したがって、 １４．７≦ ５ｘ ＜２１．１ より、 ２．９４≦
ｘ ＜４．２２
第２回（連続・不連続）
問題２．１ 平面上で、点（２，３）を通り、原点からの距離が１である直線の方程式を求めよ。
（答） 求める直線の方程式は、ｙ＝ａ(ｘ−２)＋３ とおける。点と直線の距離の公式から、
 |
これを解いて、 |  |
問題２．２ 次の極限値を求めよ。
| （１） |  |
（２） |  |
（答） （１） １ （２） １
問題２．３ （１） 次の関数の連続点、不連続点を求めよ。（注 [ ｘ ] はＧａｕｓｓの記号）
ｆ(ｘ) ＝ ｘ3＋[ ｘ＋１ ]
（２） 次の関数の連続点、不連続点を求めよ。
ｆ(ｘ) ＝ （ | ｘ |＋１/２＋[ ｘ ] ）2
（答）
| （１） | ｘ が整数のとき、不連続、 それ以外のとき、連続 |
（２） | ｘ が自然数のとき、不連続、 それ以外のとき、連続 |
 |
 |
||
問題２．４ 次の関数のグラフの概形を書け。
ｆ(ｘ) ＝ −ｘ＋[ ｘ ]
（答）
問題２．５ 次の関数・数列の極限値を求めよ。
| （１） |  |
（２） |  |
（３） |  |
（答） （１） １/２ （２） ０ （３） １/２
問題２．６ 次の式を簡単にせよ。ただし、ａ＞０、ｂ＞０とする。
| （１） |  |
（２） |  |
（答） （１） ａ1/6ｂ-1/12 （２） ａy(z+x)
第３回（極限）
問題３．１ 次の式を因数分解せよ。
（１） ｘ3−ｙ3 （２） ｘ4−ｙ4
（答） （１） (ｘ−ｙ)(ｘ2＋ｘｙ＋ｙ2) （２） (ｘ＋ｙ)(ｘ−ｙ)(ｘ2＋ｙ2)
問題３．２ 次の極限値を求めよ。
| （１） |  |
（２） |  |
（答） （１） ＋∞ （２） １
問題３．３ 次の連続関数 ｆ(ｘ) ＝ ａｘ＋ｂ＋ｃ| ｘ−３ | が、ｘ≦３ で、傾き３の１次関数、
３≦ｘ で、傾き５の１次関数、ｆ(３) ＝ ２ のとき、ａ、ｂ、ｃ を求めよ。
（答） 題意より、ａ−ｃ＝３ 、ａ＋ｃ＝５ 、３ａ＋ｂ＝２ よって、ａ＝４、ｂ＝−１０、ｃ＝１
問題３．４ 実数全体で定義された関数で、３で不連続で、他で連続な関数の具体例を１つ
求めよ。
（答） たとえば、無限級数で表された関数
問題３．５ 次の関数・数列の極限値を求めよ。
| （１） |  |
（２） |  |
（３） |  |
（答） （１） １ （２） −∞ （３） −∞
問題３．６
（１） 問題３．３の関数 ｆ(ｘ) の逆関数 ｇ(ｘ) を求めよ。
（２） 合成関数 ｆ(ｇ(ｘ＋１)−１) を求めよ。
（３） 次の関数の自然な定義域と値域を求めよ。
（答） （１） ｘ≧３ のとき、ｙ＝ｆ(ｘ)＝５ｘ−１３ より、 ｙ≧２ で、 ｘ＝(1/5)ｙ＋13/5
したがって、ｘ と ｙ を交換して、ｘ≧２ のとき、ｙ＝(1/5)ｘ＋13/5
すなわち、 ｇ(ｘ)＝(1/5)ｘ＋13/5
同様にして、 ｘ≦２ のとき、ｇ(ｘ)＝(1/3)ｘ＋7/3
上記を一つの式で表すには、
ｇ(ｘ) ＝ ａｘ＋ｂ＋ｃ| ｘ−２ |
とおいて、 ａ＋ｃ＝１/５ 、ａ−ｃ＝１/３ 、ｇ(２) ＝ ３ を解けばよい。
このとき、 ａ＝４/１５ 、ｃ＝−１/１５ 、ｂ＝３７/１５
よって、 ｇ(ｘ) ＝ (4/15)ｘ＋37/15−(1/15)| ｘ−２ |
（２） ｇ(ｘ) は、ｘ＝２ の前後で関数の形が変わるので、ｇ(ｘ＋１)
は、ｘ＝１ の前後
で関数の形が変わる。ところで、ｆ(ｘ) は、ｘ＝３ の前後で関数の形が変わるので、
ｇ(ｘ＋１)−１＝３ となる ｘ の値を求める必要がある。ｇ(２)
＝ ３ に注意して、
ｇ(ｘ＋１)＝４ であるので、 (1/5)（ｘ＋１）＋13/5＝４
これを解いて、ｘ＝６ となる。
よって、ｘ≧６ のとき、 ｇ(ｘ＋１)−１≧３ 、ｘ＋１≧７≧２ なので、
ｆ(ｇ(ｘ＋１)−１)＝５（ｇ(ｘ＋１)−１）−１３
＝５ｇ(ｘ＋１)−１８
＝５（(1/5)ｘ＋14/5）−１８＝ ｘ−４
１≦ｘ≦６ のとき、 ｇ(ｘ＋１)−１≦３ 、ｘ＋１≧２ なので、
ｆ(ｇ(ｘ＋１)−１)＝３（ｇ(ｘ＋１)−１）−７
＝３ｇ(ｘ＋１)−１０
＝３（(1/5)ｘ＋14/5）−１０＝ (3/5)ｘ−8/5
ｘ≦１ のとき、 ｇ(ｘ＋１)−１≦３ 、ｘ＋１≦２ なので、
ｆ(ｇ(ｘ＋１)−１)＝３（ｇ(ｘ＋１)−１）−７
＝３ｇ(ｘ＋１)−１０
＝３（(1/3)ｘ＋8/3）−１０＝ ｘ−２
上記を一つの式で表すには、
ｇ(ｘ) ＝ ａｘ＋ｂ＋ｍ| ｘ−１ |＋ｎ| ｘ−６ |
とおいて、 ａ−ｍ−ｎ＝１ 、ａ＋ｍ＋ｎ＝１ 、ａ＋ｍ−ｎ＝３/５ を解けばよい。
このとき、 ａ＝１ 、ｂ＝−３ 、ｍ＝−１/５ 、ｎ＝１/５
よって、 ｆ(ｇ(ｘ＋１)−１)＝ｘ−３−(1/5)| ｘ−１ |＋(1/5)|
ｘ−６ |
（３） 定義域は、 ｘ≧０ 、 値域は、 ｙ≧15/16
第４回（微分１）
問題４．１ 関数を微分せよ。
| （１） |  |
（２） |  |
（３） |  |
（答） （１） ｆ（ｘ）＝ｘ10＋ｘ5＋１ なので、ｆ’（ｘ）＝１０ｘ9＋５ｘ4
（２） ｆ（ｘ）＝ｘ＋１/(ｘ＋１) なので、ｆ’（ｘ）＝１−１/(ｘ＋１)2
（３） ｆ’（ｘ）＝１００(４ｘ＋１)(２ｘ2＋ｘ＋３)99
問題４．２ 次の各直線の方程式を求めよ。
（１） 曲線 ｙ＝ｘ3−３ｘ＋１ の ｙ 軸との交点における接線の方程式を求めよ。
（２） 曲線 ｙ＝ｘ3−ｘ＋１ の点（１，１）を通る接線の方程式を求めよ。
（答） （１） 接点（０，１）より、ｙ’＝３ｘ2−３＝−３ なので、接線の方程式は、ｙ＝−３ｘ＋１
（２） ｙ’＝３ｘ2−１＝２ なので、接線の方程式は、ｙ＝２（ｘ−１）＋１＝２ｘ−１
問題４．３ 次の連続関数 ｆ(ｘ) ＝ （ | ｘ−１ |− | ｘ |＋ | ｘ＋１ |−２
）2 の微分可能な点を
調べ、導関数を求めよ。
（答） ｘ≦−１ のとき、 ｆ(ｘ) ＝（ ｘ＋２ ）2 、−１≦ｘ≦１ のとき、 ｆ(ｘ) ＝ｘ2
ｘ≧１ のとき、 ｆ(ｘ) ＝（ ｘ−２ ）2 なので、ｘ＝１，−１ 以外で微分可能。
導関数は、ｘ≦−１ のとき、 ｆ’(ｘ) ＝２（ ｘ＋２ ）、−１≦ｘ≦１ のとき、 ｆ’(ｘ)
＝２ｘ
ｘ≧１ のとき、 ｆ(ｘ) ＝２（ ｘ−２ ）
（参考）
（コメント： パッと見で、ｘ＝０ で微分できないと予想しましたが、以外にも微
分可能なのですね。驚きました！これも自乗の効果なのですね。）
問題４．４ 実数全体で定義された連続関数で、３で微分不可能で、他で微分可能な関数
の具体例を１つ求めよ。
（答） 具体例の一つとして、 ｆ(ｘ) ＝ | ｘ−３ |
問題４．５ 次の関数の導関数を積の微分の公式から求めよ。
（答） ｙ＝ｆ(ｘ) とおくと、 ｙ・ｙ ＝ｘ なので、両辺を ｘ について微分すれば、ｙ’・ｙ＋ｙ・ｙ’＝１
よって、 ｙ’＝１/(2ｙ)＝１/(2√ｘ)
問題４．６ 次の関数の導関数を逆関数の導関数の公式から求めよ。
| （１） | |
（２） |  |
（答） （１） ｙ＝ｆ(ｘ) とおくと、 ｘ＝ｙ2 なので、ｄｙ/ｄｘ＝１/(ｄｘ/ｄｙ)＝１/(2ｙ)＝１/(2√ｘ)
（２） ｙ＝ｆ(ｘ) とおくと、 ｘ＝ｙ3 なので、ｄｙ/ｄｘ＝１/(ｄｘ/ｄｙ)＝１/(3ｙ2)＝１/(3ｘ2/3)
問題４．７
| （１） | ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（６ｘ＋１） の導関数を求めよ。 |
| （２） | ｆ（ｘ）＝ｓｅｃ（ｘ2＋１） の導関数を求めよ。 |
（答） （１） ｆ’(ｘ) ＝６ｃｏｓ(６ｘ＋１)
（２） ｆ’(ｘ) ＝２ｘ・ｓｅｃ（ｘ2＋１）・ｔａｎ（ｘ2＋１）
問題４．８ ｘ＝ｓｉｎ ｔ 、ｙ＝ｃｏｓ ｔ 、５＜ ｔ ＜６ のとき、ｄｘ/ｄｙ を
ｙ の式として求めよ。
（答） ｄｘ/ｄｙ ＝(ｃｏｓ ｔ )/(−ｓｉｎ ｔ ) において、５＜ ｔ ＜６ のとき、ｓｉｎ
ｔ ＜０ なので、
ｓｉｎ ｔ ＝−√(１−ｃｏｓ2ｔ) ＝−√(１−ｙ2) よって、 ｄｘ/ｄｙ ＝ ｙ/√(１−ｙ2)
（コメント：問題文の注釈に、「ｔ の範囲によって符号が変わることに注意」とあります
が、符号は変わらないと思うのですが．．．？）
→ 負の符号になるという意味だそうです。
第５回（微分２）
問題５．１ 関数を微分せよ。
| （１） |  |
（２） |  |
（３） |  |
| （４） |  |
（５） |  |
（６） |  |
| （７） |  |
（８） |  |
（９） |  |
| (10) |  |
(11) |  |
||
| (12) |  |
||||
| (13) |  |
(14) | (13)の関数の導関数をもう一度微分せよ。 | ||
（答） （１） ｘ/(ｘ2＋１) （２） ｌｏｇ ｘ （３） ２・１００2ｘ＋3ｌｏｇ １００ （４） ｎ(ｌｏｇ ｘ)ｎ−1/ｘ
（５） −２ｘｅ(−ｘ2＋1) （６） ｘｘ(ｌｏｇ ｘ＋１)
（７） (３ｌｏｇ(２ｘ＋１)＋(６ｘ−２)/(２ｘ＋１))(２ｘ＋１)3ｘ−1 （８） ２ｘｌｏｇ２＋３ｘｌｏｇ３
（９） (ｌｏｇ ｘ−１)/(ｌｏｇ ｘ)2 (10) ２０ｅ20ｘ (11) ３ｘ2ｃｏｓ(ｌｏｇ(ｘ3＋１))/(ｘ3＋１)
(12) −６ｘ2ｓｉｎ(ｘ3＋１)/ｃｏｓ(ｘ3＋１) (13) ３ｘ| ｘ | (14) ６| ｘ |
問題５．２ ｘ＝ｔ/（ｔ2＋１） 、ｙ＝ｔ2＋１ のとき、
（１） ｄｘ/ｄｙ を求めよ。 （２） （１）の値を、ｙ の式で求めよ。
（符号に注意。ｔ の範囲によって場合分けをせよ。）
（答） （１） （１−ｔ2）/（２ｔ（ｔ2＋１）2）
（２） ±（２−ｙ）/（２ｙ2√（ｙ−１）） （ ｔ ≧ ０ のとき、＋、ｔ ＜ ０ のとき、− ）
問題５．３ ｘ＝ｅｔ＋２ｅ−ｔ 、ｙ＝ｅｔ−２ｅ−ｔ のとき、
（１） ｄｘ/ｄｙ を求めよ。 （２） （１）の値を、ｙ の式で求めよ。
（答） （１） （ｅｔ−２ｅ−ｔ）/（ｅｔ＋２ｅ−ｔ） （２） ｘ ＞０ に注意して、 ｙ/√(ｙ2＋８)
（コメント： 導関数を「値」と表現することに違和感を覚えました。また、媒介変数表示の場
合の導関数の計算は、高校では通常 ｄｙ/ｄｘ を求める場合が多いのですが、
問題のように、ｄｘ/ｄｙ を求めさせることに、何か意図があるのでしょうか？）
第６回（逆関数）
問題６．１ 次の逆三角関数の値を求めよ。
（１） ｓｉｎ-1１ （２） ｓｉｎ-1（−１） （３） ｓｉｎ-1（１/２） （４） ｃｏｓ-1１
（５） ｃｏｓ-1（１/２） （６） ｔａｎ-1√３ （７） ｔａｎ-1（−１/√３）
（８） ｓｉｎ-1（√６−√２）/４ （９） ｓｉｎ-1（１/√２）
（答） （１） π/２ （２） −π/２ （３） π/６ （４） ０ （５） π/３
（６） π/３ （７） −π/６ （８） π/１２ （９） π/４
問題６．２ 次の関数の導関数を求めよ。
（１） ｙ＝ｓｉｎ-1ｘ （２） ｙ＝ｃｏｓ-1ｘ （３） ｙ＝ｔａｎ-1ｘ （４） ｙ＝（ｓｉｎ-1ｘ）3
（５） ｙ＝ｓｉｎ-1ｘ3 （６） ｙ＝ｔａｎ-1（ｘ＋１）2 （７） ｙ＝ｃｏｓ（２ｃｏｓ-1ｘ）
（８） ｙ＝ｌｏｇ√（ｘ4−１）−ｌｏｇ√（ｘ2−１）
（答） （１） １/√（１−ｘ2） （２） −１/√（１−ｘ2） （３） １/（１＋ｘ2）
（４） ３（ｓｉｎ-1ｘ）2/√（１−ｘ2） （５） ３ｘ2/√（１−ｘ6）
（６） ２（ｘ＋１）/（１＋（ｘ＋１）4）
（７） 倍角の公式から、ｃｏｓ（２ｃｏｓ-1ｘ）＝２ｃｏｓ2（ｃｏｓ-1ｘ）−１＝２ｘ2−１ なので、
導関数は、４ｘ となる。
（８） ｙ＝ｌｏｇ√（ｘ2＋１） であるので、導関数は、 ｘ/（１＋ｘ2）
問題６．３
（１） 次の等式を示せ。
 |
（ ｘｙ＜１ ） |
（２） 次の関数を微分せよ。
（答） （１） Ａ＝ｔａｎ-1ｘ 、Ｂ＝ｔａｎ-1ｙ とおく。ただし、 −π/２＜Ａ、Ｂ＜π/２ である。
このとき、 ｘ＝ｔａｎＡ 、ｙ＝ｔａｎＢ なので、
（ｘ＋ｙ）/（１−ｘｙ）＝（ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ）/（１−ｔａｎＡ・ｔａｎＢ）＝ｔａｎ（Ａ＋Ｂ）
ところで、 −π＜Ａ＋Ｂ＜π なので、±πという定数差を無視して、
Ａ＋Ｂ＝ｔａｎ-1（ｘ＋ｙ）/（１−ｘｙ） が成り立つ。
（コメント） 「 ｔａｎ（ｔａｎ-1ｘ＋ｔａｎ-1ｙ）＝（ｘ＋ｙ）/（１−ｘｙ） を示せ。」という問題の方が無難
かもしれないですね。
（２） （−ｘ2−１＋２（ｘ＋１）√ｘ）/２（ｘ3＋ｘ2＋ｘ＋１）√ｘ
問題６．４ 次の関数 ｆ(ｘ) の逆関数 ｆ-1(ｘ) の導関数を求めよ。（ｘ の式で表せ。）
ｆ(ｘ) ＝ ｃｏｓ ｘ ＋ ｓｉｎ ｘ
（答） ｆ(ｘ) ＝ √２・ ｓｉｎ（ ｘ＋π/４） なので、 ｆ-1(ｘ) ＝ −π/４＋ｓｉｎ-1（ｘ/√２）
したがって、 その導関数は、 （１/√２）/√（１−ｘ2/２） ＝ １/√（２−ｘ2） である。
第７回（導関数）
問題７．１ 次の各関数の第２次導関数を求めよ。
（１） ｙ＝ｘｘ （２） ｙ＝ａｒｃｓｉｎ ｘ （３） ｙ＝（ｌｏｇ ｘ）2 （４） ｙ＝ｃｏｓ（ｘ2＋１）
（５） ｙ＝ｌｏｇｌｏｇ ｘ
（答） （１） ｘｘ-1（ｘ（ｌｏｇ ｘ＋１）2＋１） （２） ｘ/（１−ｘ2）√（１−ｘ2） （３） ２（１＋ｌｏｇ ｘ）/ｘ4
（４） −２ｓｉｎ（ｘ2＋１）−４ｘ2ｃｏｓ（ｘ2＋１） （５） −（ｌｏｇ ｘ＋１）/（ｘｌｏｇ ｘ）2
問題７．２ 次の関数の第１２階導関数を求めよ。 ｙ＝（ｘ15−１）/（ｘ3−１）
（答） ｙ＝ｘ12＋ｘ9＋ｘ6＋ｘ3＋１ より、ｙ(12)＝１２！
問題７．３ 次の各関数の第ｎ階導関数を求めよ。
（１） ｙ＝ｃｏｓ（３ｘ＋１） （２） ｙ＝√（２ｘ＋１） （３） ｙ＝ｘ/（ｘ2−１）
（４） ｙ＝ｌｏｇ√（３ｘ＋１） （５） ｙ＝ｌｏｇ√（ｘ2−３ｘ＋２）
（６） ｙ＝ｅｘ/ｘ （７） ｙ＝ｓｉｎ ｘ ｃｏｓ ｘ （８） ｙ＝ｃｏｓ2 ｘ − ｓｉｎ2 ｘ
（答） （１） ３ｎ・ｃｏｓ（３ｘ＋１＋ｎπ/２）
（２） (1/2)((1/2)−１)・・・((1/2)−ｎ＋１)（２ｘ＋１）(1/2)−ｎ２ｎ
または、（−１）ｎ-1（２ｎ−３）！（２ｘ＋１）(1/2)−ｎ/（２ｎ-2（ｎ−２）！）
（コメント：答の最終形として、どちらが適切であろうか？個人的には、前者で十分
と思うが．．．？）
（３） ｙ＝（１/（ｘ＋１）＋１/（ｘ−１））/２ であることに注意して、
ｙ(ｎ)＝（−１）ｎｎ！（１/（ｘ＋１）ｎ+1＋１/（ｘ−１）ｎ+1）/２
（４） ｙ(ｎ)＝−（−３）ｎ（ｎ−１）！/（２（３ｘ＋１）ｎ）
（５） ｙ(ｎ)＝（−１）ｎ-1（ｎ−１）！（１/（ｘ−１）ｎ＋１/（ｘ−２）ｎ）/２
（６）
（７） ｙ＝（1/2）ｓｉｎ ２ｘ なので、 ｙ(ｎ)＝２ｎ-1・ｓｉｎ（２ｘ＋ｎπ/２）
（８） ｙ＝ｃｏｓ ２ｘ なので、 ｙ(ｎ)＝２ｎ・ｃｏｓ（２ｘ＋ｎπ/２）
第８回（極限値）
問題８．１ 次の極限値を求めよ。
| （１） |  |
（２） |  |
（３） |  |
| （４） |  |
（５） |  |
（６） |  |
| （７） |  |
（８） |  |
||
| （ ａ は定数） | （ α、β は定数） |
（答） （１） １/２ （２） ５ （３） １ （４） −１/６ （５） １/３ （６） １
（７） ａ＜１/６ のとき、＋∞ 、 ａ＝１/６ のとき、 −１/１２０ 、
ａ＞１/６ のとき、−∞
（８） β＞１ のとき、−∞ 、β＝１ のとき、α（α−１）/２ 、β＜１ のとき、＋∞
問題８．２ 次の数列の極限値を求めよ。
注意 ロピタルの定理を使うには、その前提条件が満たされていることを示さねばならない。
ヒント ｆ(ｘ)＝ｌｏｇｘとｇ(ｘ)＝√ｘに区間[ｎ，ｎ＋１]でコーシーの平均値の定理を用いて各項を評価して
もよい。
| （答） |  |
（コメント：ロピタルの定理を用いてもできますが、上記のような式変形で求める方が自然だ
と思います。）
問題８．３ ｆ（ｘ）を閉区間[ａ，ｂ]で３回連続微分可能な関数とする。
ｆ（ａ）＝ｆ’（ａ）＝ｆ（ｂ）＝ｆ’（ｂ）＝０ とする。
このとき、 ａ ＜ ｃ ＜ ｂ なる ｃ で、ｆ”’（ｃ）＝０ なる点
ｃ が存在することを示せ。
（答） 平均値の定理から、
ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝０ より、 ｆ’（ｐ）＝０ （ ａ ＜ ｐ ＜
ｂ ） なる点 ｐ が存在する。
同様に、
ｆ’（ａ）＝ｆ’（ｐ）＝０ より、 ｆ”（ｑ）＝０ （ ａ ＜ ｑ
＜ ｐ ） なる点 ｑ が存在する。
ｆ’（ｂ）＝ｆ’（ｐ）＝０ より、 ｆ”（ｒ）＝０ （ ｐ ＜ ｒ ＜ ｂ ） なる点 ｒ が存在する。
したがって、
ｆ”（ｑ）＝ｆ”（ｒ）＝０ より、 ｆ”’（ｃ）＝０ なる点 ｃ が存在し、
ａ ＜ ｑ ＜ ｃ ＜ ｒ ＜ ｂ を満たす。
第９回（テイラー展開）
問題９．１ 次の関数の第 ｎ 階導関数を求めよ。
（１） ｙ＝(ｘｅｘ)3 （２） ｙ＝ｓｉｎｈ ｘ
（答） （１） ３ｎ-3ｅ3ｘ（２７ｘ3＋２７ｎｘ2＋９ｎ（ｎ−１）ｘ＋ｎ(ｎ−１)(ｎ−２)）
（２） (ｅｘ−(−１)ｎｅ−ｘ)/２
問題９．２
（１） ｆ(ｘ) ＝ ｔａｎ ｘ のマクローリン展開において、最初の０でない３項を求めよ。
（２） ｆ(ｘ) ＝ ｓｉｎ ｘ を ｘ＝ π でテイラー展開せよ。
（３） ｆ(ｘ) ＝ １/ｘ を ｘ＝ ７ でテイラー展開せよ。
（４） ｆ(ｘ) ＝ ２ｘ＋３ｘ をマクローリン展開せよ。また、ｘ＝ １ でテイラー展開せよ。
（５） ｆ(ｘ) ＝ ｌｏｇ ｘ を ｘ＝ １０ でテイラー展開せよ。
| （答） | （１） |  |
（２） |  |
（３） |  |
| （４） |  |
|||||
| テイラー展開は、 |  |
|||||
| （５） |  |
|||||
問題９．３ 関数 ｆ(ｘ) ＝ ｘ3−３ｘ の半開区間（−１，２] での最大・最小、極大・極小を求
めよ。
（答） ｘ＝２ のとき最大で、最大値 ２ 、ｘ＝１ のとき最小で、最小値 −２
ｘ＝１ のとき極小で、極小値 −２ 、極大値はない。
問題９．４ 関数 ｆ(ｘ) ＝ ｘ3−３ｘ2−３ｘ の極大値と極小値の和と積を求めよ。
（ヒント。 極値をとる点 α、β は、方程式 ｆ’(ｘ) ＝ ０ の解である。ｆ(ｘ)
を ｆ’(ｘ) で割り
算した（ｆ’(ｘ)/３ で割っても同じ）余りを ｈ(ｘ) （これは高々１次式）とおくと、ｆ(ｘ)
の極値は、ｈ(α)、ｈ(β) となる。更に、解と係数の関係を使う。）
（答） ｆ’(ｘ) ＝ ３ｘ2−６ｘ−３＝０ は、判別式 Ｄ/４＝９＋９＝１８＞０ より、相異なる２つ
の解 α、β を持つ。
関数 ｆ(ｘ) の増減を調べることにより、 極値は、ｆ(α) と ｆ(β)
である。
ところで、 ｆ(ｘ) ＝(ｘ−１)(ｆ’(ｘ)/３)−４ｘ−１ なので、
ｆ(α) ＝ −４α−１ 、 ｆ(β) ＝ −４β−１
解と係数の関係より、 α＋β＝２ 、αβ＝−１ なので、
極大値と極小値の和
＝ ｆ(α) ＋ ｆ(β) ＝−４α−１−４β−１＝−４（α＋β）−２＝−１０
極大値と極小値の積
＝ ｆ(α)ｆ(β) ＝（−４α−１）（−４β−１）＝１６αβ＋４（α＋β）＋１＝−７
問題９．５ 関数 ｆ(ｘ) ＝ ｃｏｓ-1(１−ｘ2)＋５ｘ/２ の −
≦ｘ≦ における最大・最小、
極大・極小について調べよ。
（この範囲内に微分不可能な点が３つあることに注意。）
（答） ｘ＝− 、０ 、 の３点で微分不可能である。
ｘ＝ のとき最大で、最大値 π＋５/
ｘ＝−(√３４)/５ のとき極小かつ最小で、
極小値（最小値）は、ｃｏｓ-1(−９/２５)−(√３４)/２
極大値はない。
（コメント： 第９回の問題は、煩雑な計算を必要とする問題が多かったですね。特に、問題
９．２ （１）は計算に自信がなかったので、ベッセル関数を用いる方法で検算して
しまいました。 問題９．５ において、最大・最小にしろ、極大・極小にしろ微分可
能性とは全く関係なしに求められるわけですので、殊更、微分不可能な点が３つ
あることに注意という但書きは必要がないと思われますが．．．。）
第１０回（極値・級数）
問題１０．１ ｘ＞０ のとき、次の不等式を証明せよ。
（１） ｅｘ＞１＋ｘ＋ｘ2/２ （２） （２−２ｘ＋ｘ2）/２＞ｅ−ｘ （３） ｓｉｎｈ ｘ ＞ ｘ ＞ ｔａｎｈ ｘ
（答） （１） ｆ（ｘ）＝ｅｘ−（１＋ｘ＋ｘ2/２） とおくと、
ｆ’（ｘ）＝ｅｘ−（１＋ｘ） 、 ｆ”（ｘ）＝ｅｘ−１ 、 ｆ”’（ｘ）＝ｅｘ＞０
よって、ｆ”（ｘ）は単調増加で、ｆ”（０）＝０ より、ｘ＞０ のとき、ｆ”（ｘ）＞０
よって、ｆ’（ｘ）は単調増加で、ｆ’（０）＝０ より、ｘ＞０ のとき、ｆ’（ｘ）＞０
よって、ｆ（ｘ）は単調増加で、ｆ（０）＝０ より、ｘ＞０ のとき、ｆ（ｘ）＞０
したがって、 ｅｘ＞１＋ｘ＋ｘ2/２
（２） ｆ（ｘ）＝（２−２ｘ＋ｘ2）/２−ｅ−ｘ とおくと、
ｆ’（ｘ）＝−１＋ｘ＋ｅ−ｘ 、 ｆ”（ｘ）＝１−ｅ−ｘ 、 ｆ”’（ｘ）＝ｅ−ｘ＞０
よって、ｆ”（ｘ）は単調増加で、ｆ”（０）＝０ より、ｘ＞０ のとき、ｆ”（ｘ）＞０
よって、ｆ’（ｘ）は単調増加で、ｆ’（０）＝０ より、ｘ＞０ のとき、ｆ’（ｘ）＞０
よって、ｆ（ｘ）は単調増加で、ｆ（０）＝０ より、ｘ＞０ のとき、ｆ（ｘ）＞０
したがって、 （２−２ｘ＋ｘ2）/２＞ｅ−ｘ
（３） ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｈ ｘ − ｘ 、 ｇ（ｘ）＝ｘ − ｔａｎｈ
ｘ とおくと、
ｆ’（ｘ）＝ｃｏｓｈ ｘ −１≧０ より、ｆ（ｘ）は単調増加で、ｆ（０）＝０ より、
ｘ＞０ のとき、ｆ（ｘ）＞０ すなわち、 ｓｉｎｈ ｘ ＞
ｘ
同様にして、
ｇ’（ｘ）＝１−ｓｅｃｈ2 ｘ ≧０ より、ｇ（ｘ）は単調増加で、ｇ（０）＝０ より、
ｘ＞０ のとき、ｇ（ｘ）＞０ すなわち、 ｘ ＞ ｔａｎｈ
ｘ
問題１０．２ 次の関数の極大・極小について調べよ。
（１） ｆ（ｘ）＝ｘ6−３ｘ2＋１ （２） ｆ（ｘ）＝ｘｅ−ｘ （３） ｆ（ｘ）＝| ｘ＋１ |−| ｘ |＋| ｘ−１ |
（答） （１） 極大値 １ （ｘ＝０ のとき） 極小値 −１ （ｘ＝１、−１ のとき）
（２） 極大値 １/ｅ （ｘ＝１ のとき） 極小値はない
（３） 極大値 ２ （ｘ＝０ のとき） 極小値 １ （ｘ＝１、−１ のとき）
問題１０．３ 次の有限級数の和を求めよ。
| （１） |  |
（２） |  |
（ヒント： 公比 ｘ の等比級数の和の公式を使い、両辺を微分する。勿論、分母が出てくる
場合は、それが ０ になる場合を検討する必要がある。）
（答） （１） 与式＝Ｓ とおくと、 （１−ｘ）Ｓ＝ｘ＋ｘ2＋ｘ3＋・・・＋ｘｎ−ｎｘｎ＋1
よって、ｘ≠１ のとき、 Ｓ＝（ｘ−（ｎ＋１）ｘｎ＋１＋ｎｘｎ＋2）/（１−ｘ）2
ｘ＝１ のとき、 Ｓ＝ｎ（ｎ＋１）/２
（２） ｒｎＣｒ＝ｎｎ−1Ｃｒ−1 なので、与式＝ｎｘ（１＋ｘ）ｎ−1
問題１０．４ 次の関数での極座標におけるグラフの概形を書け。
（この場合、ｒ
＜０ でもよいことに注意）
（１） ｒ＝２−θ （対数スパイラル）
さらに、このグラフを原点を中心として相似拡大したグラフは、自分自身に合同であ
ることを示せ。
（２） ｒ＝ｃｏｓ（θ＋π/６）
さらに、θが動くとき、グラフが自分に重ならないようなθの最小範囲を一つ求めよ。
（答） （１）
後半部分は、２−（θ＋2kπ）＝２−2kπ× ｒ から明らか。
（２）
 |
左図は、中心の座標 （ /４，−１/４）半径 １/２ の円である。 また、求める θ の範囲は、 ０ ≦ θ ＜ π である。 |
問題１０．５ 次の有限級数の和を求めよ。
| （１） |  |
（２） |  |
（ヒント： 等比級数の和の公式で、公比を ｒｅｉθ （ ｉ は虚数単位）として、オイラーの公式を
用いて、両辺の実部、虚部を比較する。解答を完全に整理する必要はないが、分母
を生じた場合は、それが ０ になる場合の検討を要する。）
（答） ｒｅｉθ≠１ のとき、
（１） （１−ｒｃｏｓθ−ｒｎ＋1ｃｏｓ(ｎ＋１)θ＋ｒｎ＋2ｃｏｓｎθ）/（１＋ｒ2−２ｒｃｏｓθ）
（２） （ｒｓｉｎθ−ｒｎ＋1ｓｉｎ(ｎ＋１)θ＋ｒｎ＋2ｓｉｎｎθ）/（１＋ｒ2−２ｒｃｏｓθ）
ｒｅｉθ＝１ のとき、 （１） ｎ （２） ０
第１１回（不定積分）
問題１１．１ 次の関数の不定積分を求めよ。
（１） ｆ（ｘ）＝１/（（ｘ＋１）2＋４） （２） ｆ（ｘ）＝（１−ｘ4）/（１−ｘ3）
（３） ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ（３ｘ＋１） （４） ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ√（ｘ＋１）
（５） ｆ（ｘ）＝１/（１＋ｘ−ｘ2） （６） ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｈ ｘ
（７） ｆ（ｘ）＝（ｃｏｓｈ ｘ）3 （８） ｆ（ｘ）＝（ｔａｎ−1ｘ）/（ｘ2＋１）
（９） ｆ（ｘ）＝１/（（ｘ2＋１）ｔａｎ−1ｘ） （10） ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ ｘ ｃｏｓ ｘ
（11） ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ ｘ ｓｉｎ ｘ （12） ｆ（ｘ）＝（ｓｉｎ ｘ） ｃｏｓ ｘ
（ ０＜ｘ＜π/２ ）
（答） 以下で、積分定数は省略する。
（１） (1/2)ｔａｎ−1((ｘ＋１）/２） （２） (1/2)ｘ2＋２ｘ＋ｌｏｇ（ｘ2−ｘ＋１）
（３） (1/3)（（３ｘ＋１）ｌｏｇ（３ｘ＋１）−（３ｘ＋１））
（４） (1/2)（（ｘ＋１）ｌｏｇ（ｘ＋１）−（ｘ＋１））
（５） (１/√５)ｌｏｇ | （（√５）−１＋２ｘ）/（（√５）＋１−２ｘ）
| （６） (1/2)ｃｏｓｈ ２ｘ
（７） (1/3)（ｓｉｎｈ ｘ）3＋ｓｉｎｈ ｘ （８） (1/2)（ｔａｎ−1ｘ）2 （９） ｌｏｇ | ｔａｎ−1ｘ |
（10） (1/2)ｓｉｎ ２ｘ （11） ｓｉｎ ｘ ｃｏｓ ｘ−ｃｏｓ ｘ ｓｉｎ ｘ
（12） （ｓｉｎ ｘ）＋１/（＋１）
問題１１．２
（１） ｃｏｓ ｘ ＝（ｅｉｘ＋ｅ−ｉｘ）/２ を使うことにより、（両辺を５乗して）ｃｏｓ5ｘ の不定積分
を求めよ。
（２） 複素数 ｚ に対して、
と定義することにより、実数θに対して、 ｅｉθ＝ ｃｏｓ θ＋ ｉ・ｓｉｎ θ となることを示せ。
（答） （１） (1/80)ｓｉｎ ５ｘ ＋(5/48)ｓｉｎ ３ｘ ＋(5/8)ｓｉｎ ｘ
（２） Ｍａｃｌａｕｒｉｎ展開により、
が成り立つことから、明らか。
（コメント： 問題１１．２（１） は、高校数学では、倍角の公式と３倍角の公式を用いて、
ｃｏｓ5ｘ＝ｃｏｓ2ｘ・ｃｏｓ3ｘ＝（１＋ｃｏｓ ｘ）/２・（ｃｏｓ ３ｘ＋３ｃｏｓ ｘ）/４
＝(1/16)ｃｏｓ ５ｘ＋(5/16)ｃｏｓ ３ｘ＋(5/8)ｃｏｓ
ｘ
と変形してから、不定積分を求めることが多いようです。問題のヒントは、少し
計算が煩雑なような気がします。）
第１２回（定積分）
問題１２．１ 次の定積分を求めよ。
| （１） |  |
（２） |  |
（３） |  |
| （４） |  |
（５） |  |
（６） |  |
| （７） |  |
（答） （１） ｌｏｇ（５/３） （２） π/４ （３） ｅ2＋２ｅ-1 （４） π/３ （５） ｅ2＋１
（６） ２１/８ （７） （ｅ−１）/２
問題１２．２ 次の ｘ の関数の導関数を求めよ。
| （１） |  |
（２） |  |
| （３） |  |
（答） （１） ２ｘ・ｓｉｎ | ｘ | （２） ２ｘ4 （３） （２ｘ2ｃｏｓｘ2−ｓｉｎｘ2）/ｘ2
第１３回（面積・長さ）
問題１３．１ 次の曲線で囲まれた部分の面積を求めよ。
| （１） |  |
（２） |  |
| （３） |  |
（４） |  |
（答） （１） １/３ （２） (2/3)ｅ3/2−5/3 （３） １/６ （４） ４/３
問題１３．２ 次の曲線の長さを求めよ。
| （１） |  |
（２） |  |
| （３） |  |
||
（答） （１） ２ （２） (1/2)（ｅb−ｅa−ｅ−b＋ｅ−a） （３） π
第１４回（広義積分）
問題１４．１ 次の広義積分に関して、広義積分可能性を判定し、広義積分可能ならば、そ
の値を求めよ。
| （１） |  |
（２） |  |
（３） |  |
| （４） |  |
（５） |  |
（６） |  |
（答） （１） ｌｏｇ２ （２） ＋∞ で、積分できない （３） (3/4)ｅ-2
（４） −∞ で、積分できない （５） ＋∞ で、積分できない （６） ２
問題１４．２ 次の極限値を求めよ。
| （１） |  |
（２） |  |
（３） |  |
（答） （１）
（２）
| （３） | |||
 |
とおくと、 | ||
よって、 与式＝１/ｅ