順列の転位　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　ある地方では、年齢順に結婚しなければならないという慣習があるという。

　その地方のある家庭には、５人の未婚の娘さんがいた。

　１人の娘さんが結婚する毎に、未婚の姉はそれぞれ「慣習が破られた！」と不満を

　もらした。娘５人がすべて結婚するまで、父は、合計５回不満を聞いたという。

　　５人の娘さんたちは、どのような順番で結婚していったのだろうか？

　この場合の数は、かなりたくさんありそう．．．。

　例えば、娘さんを年齢の高い方から、「１、２、３、４、５」とすると、問題の条件を満たす場
合として、
　　　　　　　３、２、４、５、１

がある。「３」が結婚するときは、「１」と「２」が不満をもらし、「２」が結婚するときは、「１」が
不満をもらす。そして、「４」「５」が結婚するときも、それぞれ「１」が不満をもらす。
　以上の計５回の不満をお父さんは聞くことになるわけだ。


　冒頭の問題を一般化すれば、順列における転位数の問題となる。

　自然数　１、２、３、・・・、ｎ　に対して、その任意の順列 σ を

　　σ（１）、σ（２）、σ（３）、・・・、σ（ｎ）

とする。このとき、

　　　ｘ＜ｙ　に対して、　σ（ｘ）＞σ（ｙ）

であるとき、「転位がある」と言われる。

　１つの順列において、転位がある組の数を、転位数（転倒数）という。

例　（１）　１、２、３　・・・　転位数は、「０」

　　 （２）　２、３、１　・・・　（２，１）と（３，１）の２組あるので、転位数は、「２」

　　 （３）　３、２、１　・・・　（２，１）と（３，１）と（３，２）の３組あるので、転位数は、「３」

　転位数が偶数の順列を「偶順列」、転位数が奇数の順列を「奇順列」という。

例　順列　３、１、４、２　の転位数は、「３」である。

　　実際に、転位がある組が、（３，１）と（３，２）と（４，２）の３組あるからである。

　あみだくじを考えると、この転位数の概念が理解される。

→

転位数は、左図における線分の 　　　交差数に等しい。

練習問題　順列　６、５、３、２、１、４　の転位数を求めよ。　　　（答え：１２）


　順列 σ の転位数が ｒ のとき、（−１）^ｒ を順列の符号といい、ｓｇｎ（σ）と表す。

　　　　ｓｇｎ（σ）＝（−１）^ｒ


　冒頭の問題について、１、２、３、４、５ の全順列を考え、転位数を計算してみた。

　上記の表から、自然数　１、２、３、・・・、ｎ　の順列に対して、ｎ＝５　のとき、転位数が５で
あるものの順列は、

　　14532　、15342　、15423　、23541　、24351　、24513　、25143　、25314　、31542

　　32451　、32514　、34152　、34215　、35124　、41352　、41523　、42153　、42315

　　43125　、51243　、51324　、52134

の計２２通りである。この２２通りを計算で求めることは可能だろうか？

　単純に、１０個の互換から５個選んでも、₁₀Ｃ₅＝２５２（通り）なので、求める場合の数より
はるかに多い。

　順列は一つのあみだくじを作る。以下に列挙してみよう。ただし、一つの順列に対して、複
数のあみだくじが対応する可能性に注意しなければならない。したがって、あみだくじを用い
て、求める場合の数を得ることは困難だろう。

　あみだくじの上下の数字は省略してある。最上段の左側から、１２３４５と並ぶ。

14532	15342	15423	23541	24351	24513	25143	25314
31542	32451	32514	34152	34215	35124	41352	41523
42153	42315	43125	51243	51324	52134

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＦＮ」から、場合の数の求め方をご教示いただい
た。（平成２３年８月１日付け）

　自然数 １、２、３、・・・、ｎ の順列で、転位数が ｋ であるものの個数を Ｔ（ ｎ ，ｋ ） とする。

ただし、ｋ は、０ 以上で、２項係数 _ｎＣ₂＝ｎ(ｎ−１)/２ 以下である。

　Ｔ（ ｎ ，ｋ ）は次のようにして求めることができる。

　ｎ＝１　のとき、転位は起こらないので、Ｔ（ １ ，０ ）＝１

　ｎ＝２　のとき、順列は、　１２　または　２１　なので、　Ｔ（ ２ ，０ ）＝１　、Ｔ（ ２ ，１ ）＝１

　ｎ＝３　のとき、順列は、　１２３　、１３２　、２１３　、２３１　、３１２　、３２１

　　ｎ＝２　のときの順列を踏まえて、最後の数字「３」の入れ方により、次のように分類する。

　　　Ｔ（ ３ ，０ ）：　転位数が０なので、転位数が０の順列「１２」の最後尾に「３」を入れる
　　　　　　　　　　　　→　１２３

　　　　　　よって、　Ｔ（ ３ ，０ ）＝１

　　　Ｔ（ ３ ，１ ）：　転位数が１なので、

　　　　　　　　　　転位数が１の順列「２１」の最後尾に「３」を入れる　→　２１３

　　　　　　　　　または、

　　　　　　　　　　転位数が０の順列「１２」の最後尾から２番目になるように「３」を入れる
　　　　　　　　　　→　１３２　（転位数が０から、＋１増える）

　　　　　　よって、　Ｔ（ ３ ，１ ）＝２

　　　Ｔ（ ３ ，２ ）：　転位数が２なので、

　　　　　　　　　　転位数が１の順列「２１」の最後尾から２番目になるように「３」を入れる
　　　　　　　　　　→　２３１　（転位数が１から、＋１増える）

　　　　　　　　　または、

　　　　　　　　　　転位数が０の順列「１２」の最後尾から３番目になるように「３」を入れる
　　　　　　　　　　→　３１２　（転位数が０から、＋２増える）

　　　　　　よって、　Ｔ（ ３ ，２ ）＝２

　　　Ｔ（ ３ ，３ ）：　転位数が３なので、

　　　　　　　　　　転位数が１の順列「２１」の最後尾から３番目になるように「３」を入れる
　　　　　　　　　　→　３２１　（転位数が１から、＋２増える）

　　　　　　よって、　Ｔ（ ３ ，３ ）＝１

　（自然数 １、２ の順列に３を添加する場合、転位数の増分は自然数 １、２ の個数２が限度である。）

　このように考えると、

　　Ｔ（ ４ ，０ ）＝１　、Ｔ（ ４ ，１ ）＝３　、Ｔ（ ４ ，２ ）＝５　、Ｔ（ ４ ，３ ）＝６　、

　　Ｔ（ ４ ，４ ）＝５　、Ｔ（ ４ ，５ ）＝３　、Ｔ（ ４ ，６ ）＝１

は、次のように機械的に求めることができる。

　　Ｔ（ ４ ，０ ）：　Ｔ（ ３ ，０ ）通りのそれぞれに対し、最後尾に「４」を入れる１通りのみ

　　　　よって、　Ｔ（ ４ ，０ ）＝Ｔ（ ３ ，０ ）＝１

　　Ｔ（ ４ ，１ ）：　Ｔ（ ３ ，１ ）通りのそれぞれに対し、最後尾に「４」を入れる１通りのみ

　　　　　　　　　　　Ｔ（ ３ ，０ ）通りのそれぞれに対し、最後尾から２番目になるように「４」を
　　　　　　　　　　　入れる１通りのみ

　　　　よって、　Ｔ（ ４ ，１ ）＝Ｔ（ ３ ，１ ）＋Ｔ（ ３ ，０ ）＝２＋１＝３

　　Ｔ（ ４ ，２ ）：　Ｔ（ ３ ，２ ）通りのそれぞれに対し、最後尾に「４」を入れる１通りのみ

　　　　　　　　　　　Ｔ（ ３ ，１ ）通りのそれぞれに対し、最後尾から２番目になるように「４」を
　　　　　　　　　　　入れる１通りのみ

　　　　　　　　　　　Ｔ（ ３ ，０ ）通りのそれぞれに対し、最後尾から３番目になるように「４」を
　　　　　　　　　　　入れる１通りのみ

　　　　よって、　Ｔ（ ４ ，２ ）＝Ｔ（ ３ ，２ ）＋Ｔ（ ３ ，１ ）＋Ｔ（ ３ ，０ ）＝２＋２＋１＝５

　　Ｔ（ ４ ，３ ）：　Ｔ（ ３ ，３ ）通りのそれぞれに対し、最後尾に「４」を入れる１通りのみ

　　　　　　　　　　　Ｔ（ ３ ，２ ）通りのそれぞれに対し、最後尾から２番目になるように「４」を
　　　　　　　　　　　入れる１通りのみ

　　　　　　　　　　　Ｔ（ ３ ，１ ）通りのそれぞれに対し、最後尾から３番目になるように「４」を
　　　　　　　　　　　入れる１通りのみ

　　　　　　　　　　　Ｔ（ ３ ，０ ）通りのそれぞれに対し、最後尾から４番目になるように「４」を
　　　　　　　　　　　入れる１通りのみ

　　　　よって、　Ｔ（ ４ ，３ ）＝Ｔ（ ３ ，３ ）＋Ｔ（ ３ ，２ ）＋Ｔ（ ３ ，１ ）＋Ｔ（ ３ ，０ ）

　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝１＋２＋２＋１＝６

　　Ｔ（ ４ ，４ ）：　Ｔ（ ３ ，３ ）通りのそれぞれに対し、最後尾から２番目になるように「４」を
　　　　　　　　　　　入れる１通りのみ

　　　　　　　　　　　Ｔ（ ３ ，２ ）通りのそれぞれに対し、最後尾から３番目になるように「４」を
　　　　　　　　　　　入れる１通りのみ

　　　　　　　　　　　Ｔ（ ３ ，１ ）通りのそれぞれに対し、最後尾から４番目になるように「４」を
　　　　　　　　　　　入れる１通りのみ

　　　　よって、　Ｔ（ ４ ，４ ）＝Ｔ（ ３ ，３ ）＋Ｔ（ ３ ，２ ）＋Ｔ（ ３ ，１ ）＝１＋２＋２＝５

　　Ｔ（ ４ ，５ ）：　Ｔ（ ３ ，３ ）通りのそれぞれに対し、最後尾から３番目になるように「４」を
　　　　　　　　　　　入れる１通りのみ

　　　　　　　　　　　Ｔ（ ３ ，２ ）通りのそれぞれに対し、最後尾から４番目になるように「４」を
　　　　　　　　　　　入れる１通りのみ

　　　　よって、　Ｔ（ ４ ，５ ）＝Ｔ（ ３ ，３ ）＋Ｔ（ ３ ，２ ）＝１＋２＝３

　　Ｔ（ ４ ，６ ）：　Ｔ（ ３ ，３ ）通りのそれぞれに対し、最後尾から４番目になるように「４」を
　　　　　　　　　　　入れる１通りのみ

　　　　よって、　Ｔ（ ４ ，５ ）＝Ｔ（ ３ ，３ ）＝１

　上記の計算の規則をみると、第４行の値は、第３行の値を使って、真上の値を含めて、左
へ４個の値を足せばよいことが分かる。

例　Ｔ（ ４ ，３ ）＝１＋２＋２＋１＝６　、Ｔ（ ５ ，５ ）＝３＋５＋６＋５＋３＝２２

　一般に、次の漸化式が成りつ。

　　Ｔ（ ｎ＋１ ，ｋ ）＝Ｔ（ ｎ ，ｋ ）＋Ｔ（ ｎ ，ｋ−１ ）＋・・・＋Ｔ（ｎ ，ｋ−ｎ ）

ただし、ｋ＜０　、ｋ＞_ｎＣ₂　のとき、Ｔ（ ｎ ，ｋ ）＝０　とする。

（コメント）　なるほど．．．今までのモヤモヤが雲散霧消しました！ＦＮさんに感謝します。


　また、ＦＮさんは、次の表も作られました。

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「攻略法」さんにも解法をご教示いただきました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年８月１日付け）

個数の表に対応させて、並びをつくってみました。

k=0　0    1    2    3    4    5    6   （転位数）
n=1　1
n=2　12   21
n=3　123  132  312  321
　　      213  231
n=4　1234 1243 1423 4123 4132 4312 4321
　　      1324 1342 1432 4213 4231
　　      2134 2143 2413 3412 3421
　　           3124 3142 2431
　　           2314 2341 3241
　　                3214

　ｍ＝４の並びから、ｎ＝５の並びを求めるには、

k=0　0     1     2     3     4     5     6     7（転位数）
n=5　1234_ 123_4 12_34 1_234 _1234 _1243
　　       1243_ 124_3 12_43 1_243 _1324
　　       1324_ 132_4 13_24 1_324 _2134
　　       2134_ 213_4 21_34 2_134 1_423
　　             1423_ 142_3 14_23 1_342
　　             1342_ 134_2 13_42 2_143
　　             2143_ 214_3 21_43 3_124
　　             3124_ 312_4 31_24 2_314
　　             2314_ 231_4 23_14 41_23
　　                   4123_ 412_3 14_32
　　　　               1432_ 143_2 24_13
　　　　               2413_ 241_3 31_42
　　　　               3142_ 314_2 23_41
　　　　               2341_ 234_1 32_14
　　　　               3214_ 321_4 413_2
　　                         4132_ 421_3
　　                         4213_ 341_2
　　                         3412_ 243_1
　　                         2431_ 324_1
　　                         3241_ 4312_
　　                               4231_
　　                               3421_

　ｐ列前（ｐ＜ｎ（ｐ≦ｎ））なら、ｍの並びの右からｐ番目の前（後）に数字ｎを挿入する。

同列（ｐ＝０（ｐ＝１））は、最後に追加となる。残り（k＝6、7、…）は、逆順なので省略。

　ｍ＝4、ｎ＝5　の場合、並び1234には、　イ1ロ2ハ3ニ4ホ　の５箇所の位置に数字 5 を挿
入できる。

　　イなら、転位数は4増加する。
　　ロなら、転位数は3増加する。
　　ハなら、転位数は2増加する。
　　ニなら、転位数は1増加する。
　　ホなら、転位数は0増加する。

（コメント）　攻略法さんに感謝します。

　上記の理論的な話が、オンライン整数列大辞典の「A008302」にある。

　その中で、次の事実に興味を引かれた。

Ｔ（ １ ，０ ）＝１　・・・　整式 １ の係数 １ に関連

Ｔ（ ２ ，０）＝１　、Ｔ（ ２ ，１ ）＝１　・・・　整式 １＋ｘ の係数 １，１に関連

Ｔ（ ３ ，０ ）＝１　、Ｔ（ ３ ，１ ）＝２　、Ｔ（ ３ ，２ ）＝２　、Ｔ（３ ，３ ）＝１

　・・・　整式 （１＋ｘ）（１＋ｘ＋ｘ²）＝１＋２ｘ＋２ｘ²＋ｘ³ の係数 １，２，２，１ に関連

Ｔ（ ４ ，０ ）＝１　、Ｔ（ ４ ，１ ）＝３　、Ｔ（ ４ ，２ ）＝５　、Ｔ（４ ，３ ）＝６　、

Ｔ（ ４ ，４ ）＝５　、Ｔ（ ４ ，５ ）＝３　、Ｔ（ ４ ，６ ）＝１

　・・・　整式 （１＋ｘ）（１＋ｘ＋ｘ²）（１＋ｘ＋ｘ²＋ｘ³）＝ １＋３ｘ＋５ｘ²＋６ｘ³＋５ｘ⁴＋３ｘ⁵＋ｘ⁶
　　　の係数 １，３，５，６，５，３，１ に関連

　以下同様。

　順列の転位数から作られる数列が、ある整式の係数になるという事実に驚かされる。

　このことから、　Ｔ（ ｎ ，ｋ ） は、次の整式の ｘ^ｋ の係数で与えられる。

　　（１＋ｘ）（１＋ｘ＋ｘ²）（１＋ｘ＋ｘ²＋ｘ³）・・・（１＋ｘ＋ｘ²＋・・・＋ｘ^ｎ-1）

例　Ｔ（ ７ ，７ ）を求めてみよう。

　　（１＋ｘ）（１＋ｘ＋ｘ²）（１＋ｘ＋ｘ²＋ｘ³）・・・（１＋ｘ＋ｘ²＋・・・＋ｘ⁶） を展開したとき、

ｘ⁷ の項が出る可能性は、

因数 １＋・・・＋ｘ⁶ から ｘ⁶ を選ぶとき

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの一つから

ｘ を選べばよいから、５通り　・・・　Ｔ（ ６ ，１ ）の計算

因数 １＋・・・＋ｘ⁶ から ｘ⁵ を選ぶとき

　因数 １＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの一つから ｘ² を選
ぶ場合は、４通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの二つから

それぞれ ｘ を一つずつ選ぶ場合は、₅Ｃ₂＝１０通り

　よって、この場合は、　４＋１０＝１４通り　・・・　Ｔ（ ６ ，２ ）の計算

因数 １＋・・・＋ｘ⁶ から ｘ⁴ を選ぶとき

　因数 １＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの一つから ｘ³ を選ぶ場合は、
３通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの二つから

それぞれ ｘ² と ｘ を一つずつ選ぶ場合は、４×４＝１６通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの三つから

それぞれ ｘ を一つずつ選ぶ場合は、₅Ｃ₃＝１０通り

　よって、この場合は、　３＋１６＋１０＝２９通り　・・・　Ｔ（ ６ ，３ ）の計算

因数 １＋・・・＋ｘ⁶ から ｘ³ を選ぶとき

　因数 １＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの一つから ｘ⁴ を選ぶ場合は、２通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの二つから

それぞれ ｘ³ と ｘ を一つずつ選ぶ場合は、３×４＝１２通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの二つから

それぞれ ｘ² と ｘ² を一つずつ選ぶ場合は、₄Ｃ₂＝６通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの三つから

それぞれ ｘ² と ｘ と ｘ を一つずつ選ぶ場合は、４×₄Ｃ₂＝２４通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの四つから

それぞれ ｘ と ｘ と ｘ と ｘ を一つずつ選ぶ場合は、₅Ｃ₄＝５通り

　よって、この場合は、　２＋１２＋６＋２４＋５＝４９通り　・・・　Ｔ（ ６ ，４ ）の計算

因数 １＋・・・＋ｘ⁶ から ｘ² を選ぶとき

　因数 １＋・・・＋ｘ⁵ のうちの一つから ｘ⁵ を選ぶ場合は、１通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの二つから

それぞれ ｘ⁴ と ｘ を一つずつ選ぶ場合は、２×４＝８通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの二つから

それぞれ ｘ³ と ｘ² を一つずつ選ぶ場合は、３×３＝９通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの三つから

それぞれ ｘ³ と ｘ と ｘ を一つずつ選ぶ場合は、３×₄Ｃ₂＝１８通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの三つから

それぞれ ｘ² と ｘ² と ｘ を一つずつ選ぶ場合は、₄Ｃ₂×３＝１８通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの四つから

それぞれ ｘ² と ｘ と ｘ と ｘ を一つずつ選ぶ場合は、４×₄Ｃ₃＝１６通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの五つから

それぞれ ｘ と ｘ と ｘ と ｘ と ｘ を一つずつ選ぶ場合は、₅Ｃ₅＝１通り

　よって、この場合は、　１＋８＋９＋１８＋１８＋１６＋１＝７１通り　・・・　Ｔ（ ６ ，５ ）の計算

因数 １＋・・・＋ｘ⁶ から ｘ を選ぶとき

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの二つから

それぞれ ｘ⁵ と ｘ を一つずつ選ぶ場合は、１×４＝４通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの二つから

それぞれ ｘ⁴ と ｘ² を一つずつ選ぶ場合は、２×３＝６通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの二つから

それぞれ ｘ³ と ｘ³ を一つずつ選ぶ場合は、₃Ｃ₂＝３通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの三つから

それぞれ ｘ⁴ と ｘ と ｘ を一つずつ選ぶ場合は、２×₄Ｃ₂＝１２通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの三つから

それぞれ ｘ³ と ｘ² と ｘ を一つずつ選ぶ場合は、３×３×３＝２７通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの三つから

それぞれ ｘ² と ｘ² と ｘ² を一つずつ選ぶ場合は、₄Ｃ₃＝４通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの四つから

それぞれ ｘ³ と ｘ と ｘ と ｘ を一つずつ選ぶ場合は、３×₄Ｃ₃＝１２通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの四つから

それぞれ ｘ² と ｘ² と ｘ と ｘ を一つずつ選ぶ場合は、₄Ｃ₂×₃Ｃ₂＝１８通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの五つから

それぞれ ｘ² と ｘ と ｘ と ｘ と ｘ を一つずつ選ぶ場合は、４×₄Ｃ₄＝４通り

　よって、この場合は、　４＋６＋３＋１２＋２７＋４＋１２＋１８＋４＝９０通り
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・　Ｔ（ ６ ，６ ）の計算

因数 １＋・・・＋ｘ⁶ から １ を選ぶとき

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの二つから

それぞれ ｘ⁵ と ｘ² を一つずつ選ぶ場合は、１×３＝３通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの二つから

それぞれ ｘ⁴ と ｘ³ を一つずつ選ぶ場合は、２×２＝４通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの三つから

それぞれ ｘ⁵ と ｘ と ｘ を一つずつ選ぶ場合は、１×₄Ｃ₂＝６通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの三つから

それぞれ ｘ⁴ と ｘ² と ｘ を一つずつ選ぶ場合は、２×３×３＝１８通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの三つから

それぞれ ｘ³ と ｘ³ と ｘ を一つずつ選ぶ場合は、₃Ｃ₂×３＝９通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの三つから

それぞれ ｘ³ と ｘ² と ｘ² を一つずつ選ぶ場合は、３×₃Ｃ₂＝９通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの四つから

それぞれ ｘ⁴ と ｘ と ｘ と ｘ を一つずつ選ぶ場合は、２×₄Ｃ₃＝８通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの四つから

それぞれ ｘ³ と ｘ² と ｘ と ｘ を一つずつ選ぶ場合は、３×３×₃Ｃ₂＝２７通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの四つから

それぞれ ｘ² と ｘ² と ｘ² と ｘ を一つずつ選ぶ場合は、₄Ｃ₃×₂Ｃ₁＝８通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの五つから

それぞれ ｘ³ と ｘ と ｘ と ｘ と ｘ を一つずつ選ぶ場合は、３×₄Ｃ₄＝３通り

　因数 １＋ｘ　、１＋ｘ＋ｘ²　、１＋・・・＋ｘ³　、１＋・・・＋ｘ⁴　、１＋・・・＋ｘ⁵ のうちの五つから

それぞれ ｘ² と ｘ² と ｘ と ｘ と ｘ を一つずつ選ぶ場合は、₄Ｃ₂×₃Ｃ₃＝６通り

　よって、この場合は、　３＋４＋６＋１８＋９＋９＋８＋２７＋８＋３＋６＝１０１通り
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・　Ｔ（ ６ ，７ ）の計算

　以上から、　Ｔ（ ７ ，７ ）＝５＋１４＋２９＋４９＋７１＋９０＋１０１＝３５９（通り）　となる。

　上式の足している数がそれぞれ順番に

Ｔ（ ６ ，１ ）、Ｔ（ ６ ，２ ）、Ｔ（ ６ ，３ ）、Ｔ（ ６ ，４ ）、Ｔ（ ６ ，５ ）、Ｔ（ ６ ，６ ）、Ｔ（ ６ ，７ ）

となっている点からも、漸化式の成立が確認される。ただ、順列で考えた方が楽かも．．．！

（コメント）　手計算で計算してみて、自然数の分解にも関係があるんですね！何やらたくさ
　　　　　　ん問題が作れそうな．．．雰囲気。



　　　以下、工事中