当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんが、循環節のある性質について考察さ
れた。（平成２５年２月１２日付け）
１０を原始根に持っている法ｐで、1〜100までの素数を調べると、
ｐ＝7、17、19、23、29、47、59、61、97
の９個がある。これらに共通に言える性質として、
１/ｐ を小数にしたとき、循環節の長さが ｐ-1 (偶数)で、その循環節の
前半部分の数＋後半部分の数=999…9 (9が (p-1)/2 個並ぶ)
となる。
例１ 1/7=0.142857142857… から、循環節の前半=142、循環節の後半=857 より、
循環節の前半＋循環節の後半=999
例２ 1/17=0.05882352941176470588… から、
循環節の前半=05882352 、循環節の後半=94117647 より、
循環節の前半＋循環節の後半=99999999
例３ 1/97=0.01030927835051546391752577319587628865979381443298969
0721649484536082474226804123711340206185567010309…
循環節の前半=010309278350515463917525773195876288659793814432
循環節の後半=989690721649484536082474226804123711340206185567
循環節の前半＋循環節の後半
=999999999999999999999999999999999999999999999999
これはこれで計算機等で確認できるんですが、これを、1〜1000 までの素数に広げると以
下
ｐ＝7、17、19、23、29、47、59、61、97、・・・、223、229、233、257、…、983
と素数7からカウントすると、52個存在していた。これらの素数に対しても同様な現象が起こ
るとは思われるが確認していくには切りがない。何方かこれを証明して頂けませんか？
上の性質は１０を原始根とするときの現象であるなら、他の数の原始根である場合はどん
なことに繋がるのか？この辺りの知識に詳しい方は情報を下さい。
空舟さんからのコメントです。（平成２５年２月１２日付け）
111111は、7で割り切れます。(← 1が並ぶ数字の中では最小)
111111/111=1001は、7で割り切れます。(上記の仮定より、111は7と素だから)
よって、 1/7 + 1000/7 = 1001/7 は整数です。ここで、1000/7は、1/7の小数点を3つずら
したものです...と言う考察で理解することができます。
飯高先生の研究室の卒業研究論文に似た話題が有ったと思います。（あんまり読んでな
いのでどんな話か把握していないけれど）
当ＨＰ読者のＨＮ「ＩＬＭ」さんから、上記話題に関連してメールを頂いた。
（平成２５年３月２６日付け）
１/ｐ を小数にしたとき、循環節の長さが ｐ-1 (偶数)で、その循環節の
前半部分の数＋後半部分の数=999…9 (9が (p-1)/2 個並ぶ)
について私なりの証明を思いつきました。以下書きたいと思います。
（証明） １０を原始根に持つ素数ｐに対して、1/ｐの循環節をａ、長さをｗとおくと、
１/ｐ＝ａ/10w＋ａ/102w＋……
となり、右辺を整理して、１/ｐ＝ａ/(10w−１) より、 10w−１＝ａｐ
上式の両辺を、ｍｏｄ ｐ で見て、 10w−１≡０ （ｍｏｄ ｐ）
さて、ｐの定義より、上式を満たす最小のwは、ｐ−１ であるので、１０p-1−１＝ａｐ ・・・（*）
ａ＝ｂ×１０(p-1)/2＋ｃ (ｂ、ｃ≦１０(p-1)/2−１) とおくと、（*）より、
１０p-1−１＝(ｂ×１０(p-1)/2＋ｃ)ｐ なので、ｃ＝(１０p-1−１)/ｐ−ｂ×１０(p-1)/2 となる。
ところで、求めるものは、ｂ＋ｃ であるから、
ｂ＋ｃ＝ｂ＋(１０p-1−１)/ｐ−ｂ×１０(p-1)/2＝(１０(p-1)/2−１)((１０(p-1)/2＋１)/ｐ−ｂ)
ここで、 (１０(p-1)/2＋１)/ｐ は整数なので(もし割り切れなかったらｐの定義に反する )、
(１０(p-1)/2＋１)/ｐ＝ｄ とおいて、 ｂ＋ｃ＝(１０(p-1)/2−１)(ｄ−ｂ) ・・・（*:*）
(１０(p-1)/2＋１)(１０(p-1)/2−１)＝(ｂ×１０(p-1)/2＋ｃ)ｐ より、
ｐｄ(１０(p-1)/2−１)=(ｂ×１０(p-1)/2＋ｃ)ｐ
よって、 ｄ(１０(p-1)/2−１)＝ｂ×１０(p-1)/2＋ｃ より、(ｄ−ｂ)１０(p-1)/2＝ｃ＋ｄ ・・・（***）
（*:*）×１０(p-1)/2 と（***）より、 (ｂ＋ｃ)１０(p-1)/2＝(ｃ＋ｄ)(１０(p-1)/2−１)
ここで、１０(p-1)/2−１ と １０(p-1)/2 は互いに素なので、１０(p-1)/2−１ は、ｂ＋ｃ を割り切る。
ｂ、ｃ の定義より、 ｂ＋ｃ≦２×(１０(p-1)/2−１) であるから、
ｂ＋ｃ＝１０(p-1)/2−１、２×(１０(p-1)/2−１)
であるが、ｂ＋ｃ＝２×(１０(p-1)/2−１) のときは、ｂ＝ｃ＝１０(p-1)/2−１ であり得ない。
以上より、 ｂ＋ｃ＝１０(p-1)/2−１ なので、９ が (p-1)/2 個並ぶ事になる。 （証終）
（♯） もしかしたら間違いがあるかもしれませんが、こんな感じになりました。加えて、もし
p が原始根に10を持たなかったらどうなるかはまだ検討してないので、暇があったら
やってみたいと思います。
（コメント） ＩＬＭさん、証明ありがとうございます。自然な流れに感動しました！
ＩＬＭさんからの続報です。（平成２５年３月２８日付け）
ふと思ったんですが、循環節の長さｗ、即ち、法ｐ（ｐ は素数）における１０の位数が偶数
であれば同様の証明が成り立ちますね。つまり、
１０w≡１ (ｍｏｄ ｐ) を満たす最小の自然数ｗが偶数のとき、
１/ｐ の循環節の前半と後半を足すと、１０w/2−１ となって、９がｗ/２ 個並ぶ事になる
ということです。あとは１０の位数が奇数のときを考察すればいいわけですが、難しそうです
ね。まず分割の仕方がわからない。何か閃いたらまたメールしたいと思います。
ＩＬＭさんからの続報です。（平成２５年３月２９日付け）
循環節について、さらに別のことを思いつきました。別に10進数表示でなくてもいいですよ
ね。つまり、さらに一般化して、
ｐを素数、ｑをｐと互いに素な数として、ｑの位数ｗ、即ち、ｑw≡1 （ｍｏｄ ｐ) を満た
す最小の自然数 w が 1/p をq進数表示した時の循環節の長さとなり、さらに w が偶
数のとき、その循環節の前半と後半を足すと、ｑw/2−１ となって、ｑ−１ が w/2 個並
ぶ事になる。
ということが同様に証明できますね。よく考えると、別に 1/p ではなく、r を p と互いに素な p
未満の数として r/p でもいいはずですが．．．。
あとはこれを応用すると、r/p のq進数表示を求めたければ、循環節の長さを求め、前半だ
け頑張って計算し、後半は前半を見て足した時に q-1 になるように埋めていけばいいことが
わかります。
具体的に、 1/7 の 3 進数表示を求めたければ、7 を法としたときの 3 の位数は 6 なので、
最初の三桁を頑張って求め、0.010……となったらあとはこれを見て、0.010212……と埋める、
ということです。
しかし、これは便利なんですかね？ 手計算では手間が半減のような、位数を求めるのが面
倒のような、結局あまり変わらないのでは、という感じです。私はあまりｑ進数表示を求めるよ
うなことをしてこなかったので、あまりありがたみがわかりませんが、どうなのでしょうか。
（追記） 令和４年８月１０日付け
１/７ の循環節の長さにも驚かされるが、循環節が長いものとして、１/７１も有名だろう。
実際に、
１/７１＝0．01408450704225352112676056338028169
01408450704225352112676056338028169・・・
循環節は、３５桁もあるが、最初の７桁を覚えれば、以降の数は機械的に得られるという
点も興味深い。
実際に割り算を実行してみると、そのカラクリが見えてくる。
（循環節の長さ ９）