重複順列　　 　 　　　　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　相異なる ｎ 個のものから重複を許して ｒ 個とる順列の数は、

　　　　　_ｎΠ_ｒ＝ｎ^r　（通り）

で与えられる。これは、順列組合せの基本公式だろう。

　１、２、３、４ の４個の数字から異なる２個を選んで２桁の整数を作る方法の数は、

　　₄Ｐ₂＝４・３＝１２（個）

なわけであるが、出来た整数

　１２、１３、１４、２１、２３、２４、３１、３２、３４、４１、４２、４３

を眺めていると、「１１、２２、３３、４４」が２桁の整数から省かれているところに何となく違和
感を感じてしまう。問題に対する解答としてはもちろん正解なわけであるが、「２桁の整数」と
いう範疇を意識すれば、問題設定の不自然さがどうしても目に付いてしまう。

　この不自然さを解消するのが、重複順列である。

　１、２、３、４ の４個の数字から重複を許して２個を選んで２桁の整数を作る方法の数は、

　　₄Π₂＝４²＝１６（個）

　順列・組合せの問題では、「重複順列」という技は、意外に活躍の場は広い。

例　４人を２つの班に分ける方法の数を求めよ。

（解）　１人と３人の班の場合：　₄Ｃ₁＝４

　　　２人と２人の班の場合：　₄Ｃ₂÷２＝３

　　よって、求める場合の数は、　４＋３＝７（通り）　　（終）

　上記の問題に対して、重複順列の考え方を用いれば、次のように解くことが出来る。

（解）　２つの班Ａ、Ｂに対して、４人それぞれのＡ、Ｂの選択を考えると、　２⁴＝１６（通り）

　このうち、４人全員が同じ班に集まる場合を除いて、　１６−２＝１４（通り）

　Ａ、Ｂの区別を取り払って、　１４÷２＝７（通り）　　（終）


　読者のために練習問題を残しておこう。

練習問題　　５個の自然数 １、２、３、４、５ の中から何個かの数を選んで、その総和を考
　　　　　　　える。総和が奇数となるように数を選ぶとき、その選び方は何通りあるか。

（解）　１から４まで順番に、その数字を選ぶ、選ばないを考えると、その場合の数は、全部

　　で ２⁴＝１６（通り） ある。最後の５を選ぶ、選ばないは、１〜４までの総和の値によって、

　　ただ１通りに定まる。

　　よって、求める場合の数は、　１６通りである。　　（終）


　上記の計算で、直接的に求めてもよい。（数が増えると、数え上げが困難に．．．）

　選ぶ数字が１個の場合：　１、３、５　の３通り

　選ぶ数字が２個の場合：　（１，２）、（１，４）、（２，３）、（２，５）、（３，４）、（４，５）　の６通り

　選ぶ数字が３個の場合：　（１，２，４）、（１，３，５）、（２，３，４）、（２，４，５）　の４通り

　選ぶ数字が４個の場合：　（１，２，３，５）、（１，３，４，５）　の２通り

　選ぶ数字が５個の場合：　（１，２，３，４，５）　の１通り

　　以上から、求める場合の数は、　３＋６＋４＋２＋１＝１６（通り）


（コメント）　この問題からも分かるように、「重複順列」という考え方は、豊かな思考方法に
　　　　　　導いてくれる。



　　　以下、工事中