持続係数　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、平成２３年６月１５日付けで、ＨＮ「ＤＪ　Ｊｅｒｒｙ」さんが次
の質問を書きこまれた。

　持続係数というものがあります。例えば、４９→３６→１８→８という風に、各位の数字を掛
け合わせて、次の数字を出し、その数字の各位を掛け合わせてその次の数字とする。こう
やって、最後一桁の数字が出るまで展開します。上の場合だと、３回展開しているので、
４９の持続係数は３になるのだそうです。

　そこで、問題なのですが、持続係数が４になる最小の数は何でしょうか？

　しらみつぶしに探せば、たぶん「７７」だと思います。答えは見つかりますが、何か漸化式
のようなもの、あるいは公式・法則はあるのでしょうか？


　この質問に、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さんが答えられた。
（平成２３年６月１６日付け）

　数列は、こちらにありますが、漸化式も公式も法則もなく、基本的にしらみつぶしに探すし
かないと思います。

（補足）　０を除外しない場合の持続係数は、上記サイトがわかっているすべての値とのこと
　　　である。（平成２３年６月１９日付け）


　ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年６月１９日付け）

　持続係数(10進法)の最大値は11ということですね。ということは、これが本当に最大値であ
る可能性が強いということなのかもしれません。

（補足）　らすかるさんが１０⁵⁰⁰まで調べたところ、持続係数(10進法)が１２となるものはな
　　　かったとのことです。（平成２３年６月１９日付け）


　また、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＦＮ」さんからも回答が寄せられた。
（平成２３年６月１６日付け）

　らすかるさんも書かれていますが理論的な扱いは無理でしょう。持続係数が４である最小
の数が「77」であることは手作業で確認できました。持続係数が５である最小の数が「679」
であることを手作業で確認するのは大変だと思います。

　10進法の話ですが、難しそうなので、２進法や３進法で考えてみます。

　２進法の場合は使う数字が１と０だけなので、１回の操作で０か１になります。従って、持続
係数は常に１(または０)です。

　以下、３進法で考えます。３進法表示を標準とし、10進法で表示するときは、後にTをつけ
ることにします。

　例　5T=12 、 10T=101 、・・・　etc

　26T=222　→　8T=22　→　4T=11　→　1　ですから、26T=222 の持続係数は３です。

では、「３進法表示で持続係数が４である最小の自然数を求めよ。」

　解があるかどうか私にはわかりません。


　ＤＪ　Ｊｅｒｒｙ さんからのコメントです。（平成２３年６月１６日付け）

　らすかるさん、FNさん、本当にありがとうございました。やはり、しらみつぶしに探すしかな
いみたいですね。ある人の話で、これはまだ未解決の難問だと今日知りました。何とかして、
規則性を発見したいです。


　らすかるさんからの続報です。（平成２３年６月１６日付け）

　FNさんの「３進法表示で持続係数が4である最小の自然数を求めよ。」について、

　３進法表示で各桁の積は、２のベキ乗か０ですから、２のベキ乗で持続係数が３以上のも
のがないと持続係数が４以上の数は存在しません。

　ところが、２のベキ乗を、２²〜約２¹⁵⁸⁵⁰⁰(３¹⁰⁰⁰⁰⁰、約１０⁴⁷⁷⁰⁰)まで調べてみると、桁に０
を含まないものは、

　２²＝４＝１１(3) 　(持続係数　１)

　２³＝８＝２２(3)　 (持続係数　２)

　２⁴＝１６＝１２１(3) 　(持続係数　１)

　２¹⁵＝３２７６８＝２２１１２２２２１１(3)　 (持続係数　２)

の４つしかありません。他の数は、０を含みますので、すべて持続係数は、１です。

　よって、もし持続係数が４以上の数が存在するとしたら

・２¹⁵⁸⁵⁰⁰以上の２のベキ乗の値で、３進法表示したときに、２の個数が３個または１５個で
　他の桁はすべて１

・２¹⁵⁸⁵⁰⁰以上の２のベキ乗の値で、３進法表示したときに、２の個数がｍ個（ｍ≧158500)
　で他の桁がすべて１であり、かつ、２^ｍを３進法表示したときに０を含まない

のいずれかを満たさなければなりませんので、証明はできませんが、存在する確率は極め
て低いと思います。ＨＰサイト「A102483 」でも「０を含まないものはこれ以上存在しない」と予
想されていますし、もし、０を含まないものが無限個存在したとしても、上記のいずれかの条
件を満たす可能性はとても低そうです。


　ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年６月１７日付け）

　２¹⁵⁸⁵⁰⁰ まで調べられたとはびっくりです。私はExcel VBAで、２³⁰ まで計算しました。

　最初は、２^ｎは、ｎ＝２、３、４を除いて、３進法表示したら必ず０が現れるだろうと思い、証
明もできるのではと考えたのですが無理で、Excelで調べたら、ｎ＝１５も０を含まないことが
わかりました。しかし、持続係数４を実現できるものではありません。持続係数４は無理か
なと思いながら問題としました。

　らすかるさんの結果によって、３進法で持続係数の最大が３であることは状況証拠として
は完全なようです。４進法も考えてみましたが、同様にかなりきつい条件が必要で、持続係
数４は無理なような気がします。５進法になると、３や４に比べると条件はかなり弱くなり、持
続係数４は可能です。

　　2344(10)=33334(5)→324(10)=2244(5)→64(10)=224(5)→16(10)=31(5)→3

持続係数５は私にはわかりません。桁数はかなりあがるかもしれませんが、ありそうな気が
します。もう少しいけるのかなという気がしますが、10進法の持続係数１３、１４の世界に近
くなりそうに思います。

　P進法(P＝６、７、･･･)について、100，000以下で調べてみました。
P＝２、３、４、５もあわせて書いておきます。10進法で100，000以下の範囲での話です。

　持続係数は、有界、即ち、最大値が存在するという気はしますが、P＝３のときですら証明
は難しいのでしょうね。


らすかるさんからの続報です。（平成２３年６月１７日付け）

　３進法〜１８進法について、１０¹⁸まで計算してみました。

　５進法では、持続係数５の「244140624」と持続係数６の「1811981201171874」が見つかり
ました。

　持続係数は、基数が素数のときに大きくなり、基数の素因数が小さいときに小さくなる傾
向があるようです。

　Ｐ．Ｓ．　その後、５進法について、１０⁵⁰⁰（５進法で約７１５桁）まで調べて持続係数７が
見つかりませんでしたので、５進法では、持続係数６が最大かも知れません。


　ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年６月１７日付け）

　私は、１０⁵まで(後で、１０⁶まで)計算しただけで、「１０¹⁸まで」とは全く桁が違います。私
の表と同じなのは、P=(２)、３、、４、６です。これらは最大値である可能性が強そうです。

　P=５については、１０⁵⁰⁰（５進で約715桁）までとはすごいですね。これも確かに最大値で
ある可能性が強そうです。

　N．J．A．Sloaneが１９７３年に「P進法での持続係数は有界だろう」と予想しているようで
す。P=３については、２^ｎ(ｎ＞１５)を３進法表示したとき、必ず０が出るだろうことも予想して
います。いまだに証明されてないようです。P．Erdosは持続係数の定義を少し変えて、「各
位の数の積」ではなく、「各位の数で０でないものの積」としても有界であろうと予想してい
るようです。

　ところが、Erdos型の持続係数については有界ではないという予想もあるらしいです。「各
位の数の積」を「各位の数の和」に変えたものもあるようでこれは有界ではないようです。

　P進法での持続係数(英語では、multiplicative persistence)について、ほとんど情報がみ
つかりませんでした。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２３年６月１７日付け）

　FNさんの「P．Erdosは持続係数の定義を少し変えて、「各位の数の積」ではなく、「各位の
数で０でないものの積」としても有界であろうと予想しているようです。」について、直感的に
は有界でない気がしますけどね。

　巨大な数Mを３進表示すると、桁数の約１/３が２であることが期待され、２^{（Mの桁数の1/3）}を
３進表示すると、また、その桁数の約１/３が２であることが期待され、・・・と考えると、1回に
つき桁数が約１/５になるだけであって有界であるような気がしません。

　また、FNさんの「P進法での持続係数(英語ではmultiplicative persistence)について、ほと
んど情報がみつかりませんでした。」について、５進法の最大値「1811981201171874」で検
索してリンクを調べると結構情報が出てきますよ。

　ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年６月１８日付け）

「A Counterexample to Conjectures by Sloane and　Erdoes
concerning the Persistence of Numbers」

の本文５〜８行目に書いてあるのですが、もう1ヶ所上限を c(b)、d(b) として書いてあったの
を見たような記憶があるのですが見つかりませんでした。

　有界でないほうの予想はこちらにあります。このほうがもっともらしそうですね。
ここにErdoesの意味での持続係数(10進法)が１８である数が書いてあります。２３４５桁だそ
うです。

　５進法の最大値「1811981201171874」で検索してリンクを調べると結構情報が出てきます
よ。」とのことですが、いろいろありますね。一番読みたいと思ったものがドイツ語だったの
が残念でした。

　らすかるさんが調べられたのと同様なのが出ていますね。P=10までは同じです。2001年
の論文ですが、Last Updateは2005/11/30となっているので、らすかるさんの求められた値
のP=10までは、2005年時点で最善のもののようです。そして多分現在でも．．．。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ＦＮさん、加筆修正　平成２３年６月１９日付け）

　「各位の数の積」を「各位の数の和」に変えたadditional persistenceが有界でないことは
大学入試レベルの問題です。大学入試問題のスタイルで書いてみます。

　自然数 ａ を10進法で表したときの各位の数の和を S(ａ) とし、

　　S₀(ａ)＝ａ、S₁(ａ)＝S(ａ)、S₂(ａ)＝S(S₁(ａ))、S₃(ａ)＝S(S₂(ａ))、･･･

　一般に、S_n+1(ａ)＝S(S_n(ａ))で定める。

　また、S_n(ａ)が1桁の自然数である最小の ｎ を、T(ａ)とする。

　例えば、　S₀(753)＝753

　S₁(753)＝S(753)＝7＋5＋3＝15

　S₂(753)＝S(15)＝1＋5＝6

　S₃(753)＝S₄(753)＝･･･＝6　　よって、 T(753)＝2

　このとき、次の問いに答えよ。

（１）　S(5789)、T(5789)を求めよ。

（２）　任意の自然数 ｎ に対して、T(ａ)＝n となる自然数 ａ が存在することを、ｎ に関
　　する数学的帰納法で証明せよ。

（解）（１）　S₀(5789)＝5789、S₁(5789)＝S(5789)＝5＋7＋8＋9＝29、

　S₂(5789)＝S(29)＝2＋9＝11、S₃(5789)＝S₄(5789)＝･･･＝2、  T(5789)＝3

（２）　ｎ＝１のとき、ａ＝10 とすれば、

　S₀(10)＝10、S₁(10)＝S(10)＝1＋0＝1、S₂(10)＝S₃(10)＝S₄(10)＝･･･＝1　より、

　T(１)＝１ となるので、ｎ＝１のとき成り立つ。

　ｎ＝ｋ（ｋ≧１）のとき成り立つと仮定する。すなわち、

　T(ａ)＝ｋ となる自然数 ａ が存在する。ａ をそのような自然数のうちの最小値としてよい。

　このとき、ａ−１ は、９の倍数となる。

　S₀(ａ)＝ａ、S₁(ａ)＝S(ａ)、・・・、S_ｋ(ａ)＝S_ｋ+1(ａ)＝･･･＝（１桁の自然数）

　そこで、　ｂ＝２・１０^(ａ-1)/9−１　とおくと、ｂ は自然数である。

　このとき、

　S₀(ｂ)＝ｂ、S₁(ｂ)＝S(ｂ)＝１＋９・（ａ−１）/９＝ａ　となるので、T(ａ)＝ｋ　より、

　T(ｂ)＝ｋ＋１　となる。

　よって、ｎ＝ｋ＋１　のときも成り立つ。

　したがって、すべての自然数 ｎ に対して、T(ａ)＝n となる自然数 ａ が存在する。　（終）


（コメント）　少々粗いですが、こんな風な証明でいいのでしょうか？

　上記の証明では、（ａ−１）/９を整数にしたかったので、ａ を最小数としましたが、ＦＮさんは、
T(ａ)＝ｎ となる ａ に対して、１をａ個並べた数を ｂ としたそうです。ＦＮさんの方が簡明ですね。

　ＦＮさんは、次の表にまとめられました。（平成２３年６月１９日付け）

　ｎ に対する ａ はあまりにも大きくなります。multiplicative persistenceはそれほどでもない
のに多分有界で、additive persistenceが有界でないのが面白いです。


（追記）　kuiperbelt さんからのコメントです。（令和６年７月２７日付け）

　N進法(N=4〜9、11〜17)で、乗法持続係数MP(Multiplicatve Persistence)を計算してみまし
た。

4進法では、20000桁まで計算してみましたが、MP=3が最大で、MP＞3の場合は見つかりま
せんでした。

5進法では、4000桁まで計算してみましたが、MP=6が最大で、MP=6となるのは5進法表記で
3344444444444444444444(10進法表記で、1811981201171874)で、これが唯一の場合でした。

11進法では、130桁まで計算してみましたが、MPは13が最大で、MP=13となる最小数は、11
進法表記で、6777777777777777778888888999999AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
(10進法表記で、78651871429395862061789067874710687825489797403089215)でした。

13進法では、60桁まで計算してみましたが、MPは15が最大で、MP=15となる最小数は、13進
法表記で、777999999999999999999999AAAAAAAACCCCC
(10進法表記で、95912962307468180493712530377442827510678)でした。

14進法では、60桁まで計算してみましたが、MPは13が最大で、MP=13となる最小数は、14進
法表記で、55599999999999999AAAABBBBBB
(10進法表記で、3393205899117928970481629894345)でした。

17進法では、60桁まで計算してみましたが、MPは17が最大で、MP=17となる最小数は、17進
法表記で、399999999BBBBBBBBBBBBEEEEFFFFFFFFFFFFFFFF
(10進法表記で、965269696920717530013264534629227512589511645392987)でした。

　他の進法では、平成２３年６月１７日付けの結果と同じでした。


（コメント）　表にまとめると、（赤字が変更箇所）

（例）　１０進法で、６３は、４進法で３３３なので、各位の数の積は２７。この４進法表示は、
　　１２３。この各位の数の積は、６で、一桁の数になり、計算は終了。

　よって、６３　→　２７　→　６　となり、６３の４進法における持続係数は３となる。



　　以下、工事中！