正三角形格子                              戻る

  当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんから話題を提供して頂きました。
                                       (平成24年1月7日付け)

 円 (x + 1)2 + y2 = 1 の周上に、(m+n/2,n/2)  (m、n は整数) で表わされる点は
全部で何個あるか。

 このような点全体の集合を正三角形格子という。

(m+n/2,n/2) を、(x + 1)2 + y2 = 1 に代入して整理すると、

  (2m + n +2)2 + 3n2 = 4

 (2m + n +2)2 = 4 - 3n2 ≧ 0 より、 n = 0 、1 、-1

  n = 0 のとき、 (2m + 2)2 = 4 より、 2m + 2 = ±2  よって、 m = 0 、-2

  n = 1 のとき、 (2m + 3)2 = 1 より、 2m + 3 = ±1  よって、 m = -1 、-2

  n = -1 のとき、 (2m + 1)2 = 1 より、 2m + 1 = ±1  よって、 m = 0 、-1

 以上から、求める点は全部で、6個ある。

     

 同様の問題です。(平成24年1月10日付け)

 円 (4x - 1)2 + (4y)2 = 72 の周上に、(m+n/2,n/2)  (m、n は整数) で表わされる
点を全て求めよ。


 攻略法さんからのコメントです。(平成24年1月11日付け)

 解は、 (0,±) 、(2,0)

 この問題に関連して、

 素数 p≡1 (mod 4) に対して、X2+Y2=pk を満たすような整数の組 (X,Y) の
個数は、4(k+1) 個ある。



 素数 p が、p≡1 (mod 4)、pk≡1 (mod 8) を満たすとき、
円 (4x - 1)2 + (4y)2 = pの周上には、ちょうど k+1 個の格子点がある。



 素数 p≡1 (mod 4) に対して、円 (2x-1)2+(2y)2=pk の周上には、2k+2 個
の格子点がある。



(追記) 平成24年1月11日付け

 出典は、2011/10/30の第213回数学検定準1級2次:数理技能検定の問題5(選択)の改題
です。僕も受けましたが、他の問題で苦戦したうえ、全くやりませんでした。でも、後になって
やってみると・・・良い問題です。