正ｎ角形の対角線の交点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰの掲示板「出会いの泉」（平成２２年８月１７日付け）で、ＨＮ「凡人」さんが次の問題
を提起された。

　正ｎ角形の対角線の本数は、ｎ（ｎ−３）/２　で求められるが、正ｎ角形の対角線の

交点の個数は、ｎ の式で表すことができるだろうか？

　凡人さんは、図を描くことで、次の表を得られた。

　　　　　　　　
　　　　　　　　正７角形の対角線の交点

　正７角形の場合、７つの頂点から４つ選び四角形を作ると、その対角線の交点が一つ決
まることから、₇Ｃ₄＝３５（個）となる事が分かる。

　また、正６角形で同様に計算すると、 ₆Ｃ₄＝１５（個）だが、中心で３本の対角線が１点で
交わっていることから、３回数えており、余計な２回を引かなければならない。

　よって、正６角形の対角線の交点の個数は、１５−２＝１３（個）となることが分かる。

　ところで、この２回というのは、　₃Ｃ₂−１　で計算することができる。

　このことから、正６角形の対角線の交点の個数は、　₆Ｃ₄−₃Ｃ₂＋１　と表すことができる。

　同様の考えで、正８角形では、　₈Ｃ₄−２１　で求めることができると予想した。

　再び図を見ると、
　　　　　　　　　

３本の対角線が１点で交わる点が８個、４本の対角線が１点で交わる点が１個あり、

　　(₃Ｃ₂−１)×８＋(₄Ｃ₂−１)×１＝２１

が求められる。

　そこで、凡人さんは、以上の計算をもとに、一般に、

　正奇数角形の場合は、_ｎＣ₄（個）

　正偶数角形の場合は、_ｎＣ₄−Σ[k=3〜？]{(_ｋＣ₂−１)・ａ_k}

のような形で書けるのではないかと予想された。

　凡人さんは、現在、次の問題点を研究中とのこと。

・正奇数角形であれば、３本の対角線が１点で交わることが無いのか？

・ａ_k は具体的に求めることができるのか？


　この問題について、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さんが次のサイトを
紹介された。（平成２２年８月１８日付け）

　　http://www.research.att.com/~njas/sequences/A006561

　それによると、「正奇数角形のとき、３本の対角線が1点で交わることはない」とのことです。

　さらに、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＦＮ」さんからご教示いただきました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２２年８月１８日付け）

　下記の論文で完全に解かれているとのこと。

　　http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9508/9508209v3.pdf

　２００６年の論文ですが、完全な式が与えられたのは初めてだと書いてあります。しかし、
１９３６年に本質的に解かれていたらしいです。計算ミスがあって完全ではなかった。

　この１９３６年の結果は気付かない人が多くて、１９５８年に次の問題が出された。

　ｎ が素数のとき、正ｎ角形の３本の対角線が１点で交わることはないことを示せ。

これに対して、素数の場合が１９６１年に、奇数の場合が１９６２年に解かれたそうです。

　即ち、凡人さんの１つ目の問いは、１９６２年(実際には、１９３６年?)に解かれているようで
す。


（コメント）　凡人さん、らすかるさん、ＦＮさん、ありがとうございます。ＦＮさんが紹介された
　　　　　　論文によれば、

　　正ｎ角形の対角線の交点の個数は、

　　_ｎＣ₄＋ (−５ｎ³＋４５ｎ²−７０ｎ＋２４)/２４・δ₂(ｎ)−(３ｎ/２)・δ₄(ｎ)

　　　　　＋(−４５ｎ²＋２６２ｎ)/６・δ₆(ｎ)＋４２ｎ・δ₁₂(ｎ)＋６０ｎ・δ₁₈(ｎ)

　　　　　＋３５ｎ・δ₂₄(ｎ)−３８ｎ・δ₃₀(ｎ)−８２ｎ・δ₄₂(ｎ)−３３０ｎ・δ₆₀(ｎ)

　　　　　−１４４ｎ・δ₈₄(ｎ)−９６ｎ・δ₉₀(ｎ)−１４４ｎ・δ₁₂₀(ｎ)−９６ｎ・δ₂₁₀(ｎ)

　　ただし、　ｎ≡０　（ｍｏｄ　ｍ）　のとき、　δ_m(n)＝１　で、

　　　　　　　その他の場合は、δ_m(n)＝０

　で与えられるとのことなので、具体的に計算してみました。

例　ｎ＝８　のとき、

　　　₈Ｃ₄＋ (−５・８³＋４５・８²−７０・８＋２４)/２４・δ₂(８)−１２・δ₄(８)

　　　　　＋(−４５・８²＋２６２・８)/６・δ₆(８)＋４２・８・δ₁₂(８) ＋６０・８・δ₁₈(８)

　　　　　＋３５・８・δ₂₄(８)−３８・８・δ₃₀(８)−８２・８・δ₄₂(８)−３３０・８・δ₆₀(８)

　　　　　−１４４・８・δ₈₄(８)−９６・８・δ₉₀(８)−１４４・８・δ₁₂₀(８)−９６・８・δ₂₁₀(８)

　＝₈Ｃ₄＋ (−５・８³＋４５・８²−７０・８＋２４)/２４・１−１２・１

　　　　　＋(−４５・８²＋２６２・８)/６・０＋４２・８・０＋６０・８・０

　　　　　＋３５・８・０−３８・８・０−８２・８・０−３３０・８・０

　　　　　−１４４・８・０−９６・８・０−１４４・８・０−９６・８・０

　＝７０＋（−２５６０＋２８８０−５６０＋２４）/２４−１２

　＝７０−９−１２

　＝４９

となり、冒頭の表の結果と一致する。（う〜む、なるほど！）



　　以下、工事中