今まで数学を学んできて、ずっと、「複素数に、大小はない！」と思ってきた。しかし、この
ことは、ある意味では正しいが、ある意味では誤りであるということを、最近知った。
例えば、２つの数 ３ と ４ があって、その大小を調べると、「 ３ ＜ ４ 」が成り立つが、こ
のような大小関係は、実は、複素数においても成り立つ。
そのためには、２つの複素数 α ＝ ｕ＋ｉ・ｖ 、β ＝ ｘ＋ｉ・ｙ に対して、
α ＜ β であることを、「 ｕ ＜ ｘ または （ ｕ ＝ ｘ かつ ｖ ＜ ｙ ） 」
α ＝ β であることを、「 ｕ ＝ ｘ かつ ｖ ＝ ｙ 」
と定義すればよい。
上記で定義した大小関係が、次のような性質を持つことは明らかであろう。
（１） ２つの複素数 α 、β に対して、
α ＜ β 、 α ＝ β 、 β ＜ α
の何れか一つだけが必ず成り立つ。
（このことから、全ての複素数が、大小の順序「＜」または「＝」で、一列に並べられる。）
（２） ３つの複素数 α 、β 、 γ に対して、
α ＜ β 、 β ＜ γ ならば、 α ＜ γ
が成り立つ。（このような性質は、「推移的」と言われる。）
例 上記の大小関係で考えると、次のようになるであろう。
２＋３・ｉ ＜ ３－２・ｉ 、 ２＋３・ｉ ＜ ２＋４・ｉ
また、
α ≦ β であることを、「 α ＜ β または α ＝ β 」
と定義する。
このとき、大小関係「≦」は、順序の公理を満たしている。
順序の公理
（１） α ≦ α （反射律）
（２） α ≦ β かつ β ≦ α ならば、 α ＝ β （反対称律）
（３） α ≦ β 、 β ≦ γ ならば、 α ≦ γ （推移律） （← 上記の性質（２））
順序の公理の中で、（３）（推移律）が最も本質的である。
さらに、上記で定義した大小関係「≦」は、線形順序にもなっている。（← 上記の性質（１））
線形順序とは、任意の α 、β に対して、「 α ≦ β または β ≦ α 」の何れかが成立す
ることをいう。（任意の２つの数の比較が可能となる。）
例 自然数 ｍ、ｎ に対して、
ｍ ≦ ｎ であることを、「ｍ は、ｎ の約数」により定義する。
（整数論の世界では通常、「ｍ は、ｎ の約数」ということを、記号「 ｍ | ｎ 」で表す。）
このとき、「≦」は、明らかに、順序の公理を満たすが、線形順序にはなっていない。
実際に、例えば、「 ２ と ４ 」などについては、「 ２ ≦ ４ 」であるが、「 ２ と ３ 」について
は、「 ２ ≦ ３ 」は成り立たない。したがって、任意の数について比較することができないの
で、線形順序にはなり得ない。
このように考えると、複素数において定義した大小関係「≦」は、順序の概念としては、よ
り高度な条件をクリアしていることになる。
複素数においては、上記の定義以外にも、無数の線形順序が定義されるらしい。その意
味からすると、「複素数に、大小はない！」ということは、誤りとなる。
しかしながら、通常我々が大小関係という場合に、上記の順序の公理以外に次のような
計算ができることを要請している。
例 ２ ≦ ４ の両辺に、－２を加えて、２－２≦４－２ すなわち ０≦２
２ ≦ ４ の両辺を、２で割って、２/２≦４/２ すなわち １≦２
このように、「不等式」において、項を移項したり、簡約できるという性質を、我々の認識
では、大小関係「≦」に付随する性質と考えるのが普通である。
しかしながら、複素数において、次のような性質
（３） α ＜ β ならば、 任意の γ に対して α ＋ γ ＜ β ＋ γ
（４） α ＜ β 、０ ＜ γ に対して α ・ γ ＜ β ・ γ
を持つ線形順序は存在しない。
たとえば、上記の性質（３）（４）を満たす線形順序が存在したと仮定する。
線形順序の性質から、複素数 ０ と虚数単位 ｉ について、
０ ＜ ｉ 、 ０ ＝ ｉ 、 ｉ ＜０
の何れか一つだけが必ず成り立つ。
０ ＜ ｉ の場合、性質（４）から、０ ・ ｉ ＜ ｉ ・ ｉ すなわち、０ ＜－１ となる。
これは、矛盾である。
０ ＝ ｉ の場合、 ０ ・ ０ ＝ ｉ ・ ｉ すなわち、０ ＝－１ となる。
これは、矛盾である。
ｉ ＜０ の場合、 性質（３）から、両辺に －ｉ を加えて、 ｉ ＋（ －ｉ ）＜ ０ ＋（ －ｉ ）
すなわち、０ ＜ －ｉ となる。このとき、性質（４）から、０ ・ （ －ｉ ）＜（ －ｉ ）・（ －ｉ ） なので、
０ ＜－１ となる。これは、矛盾である。
したがって、上記の性質（３）（４）を満たす線形順序は存在しない。
通常、我々が、「複素数に、大小はない！」ということは、実はこの意味においてだったの
である。
（参考文献：吉田紀雄 著 入試数学と現代数学のあいだ （聖文社）
松坂和夫 著 集合・位相入門 （岩波書店））
複素数の大小ではないが、大小関係に絡む次の大学入試問題は、とても新鮮に、しかし、
受験生にとっては斬新な脅威に感じられる。
平成２０年度 慶應義塾大学 環境情報学部
２つの自然数 ａ、ｂ の関係 ａ
ｂ
を次のように定める。素数を小さい順に、ｐ1＝２、ｐ2＝３、ｐ3＝５、・・・とし、ａ、ｂ の素因数分解を
ａ＝ｐ1ｓ1・ｐ2ｓ2・・・ｐｍｓｍ 、 ｂ＝ｐ1ｔ1・ｐ2ｔ2・・・ｐｎｔｎ
と表す。
ただし、ｓｈ（１≦ｈ≦ｍ）、ｔｋ（１≦ｋ≦ｎ）は、０以上の整数とし、ｓｍ≠０、ｔｎ≠０ である。
以下では、ｓ0＝ｓｍ+1＝ｓｍ+2＝・・・＝０ 、 ｔ0＝ｔｎ+1＝ｔｎ+2＝・・・＝０ とする。
ここで、次のいずれかの条件が満たされるとき、ａ
ｂ
とする。（ⅰ） ｓ1＋ｓ2＋・・・＋ｓｍ＞ｔ1＋ｔ2＋・・・＋ｔｎ
（ⅱ） ｓ1＋ｓ2＋・・・＋ｓｍ＝ｔ1＋ｔ2＋・・・＋ｔｎ であり、あるｈ（１≦ｈ≦ｍ）で
ｓ0＝ｔ0 、ｓ1＝ｔ1 、・・・・・ 、ｓh-1＝ｔｈ-1 、ｓh＞ｔh
となる。
このとき、ｂは
に関してａより大きいという。２＜Ｎ≦５０ なる自然数Ｎで、
に関して最大の数は（ １ ）であり、に関して小さい方から１０番目の数は（ ２ ）である。
（答え） （１）＝４７ 、 （２）＝２８
これは
２5
２4・３２4２3・３２3・５２2・３2２3２2・３２2・５２2・７２2・１１・・・４７という並びから求められる。
それでは、 ２＜Ｎ≦３０ なる自然数Ｎで、
に関して最大の数は（ １ ）であり、に関して小さい方から１０番目の数は（ ２ ）である。
としたらどうだろうか？
これも易しいかな？
（答え） （１）＝２９ 、 （２）＝４
この場合、素因数は、
２ 、３ 、５ 、７ 、１１ 、１３ 、１７ 、１９ 、２３ 、２９
の計１０個である。この順番に指数部分を並べたものが下表である。