時計の数理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　毎日、時計は黙々と健気に時刻を刻み続け休まることはない。もしかしたら人に注目さ
れるのが１日の内、数回にも満たないかも知れないというのにだ。

　普段使っている「今、時間は何時かな？」は、正しくは「今の時刻はいつかな？」だろう。
時間はあくまでも「時刻と時刻の引き算」で求められる相対的な量である。「今、何時？」
というと、どうしてもサザンオールスターズの「勝手にシンドバッド」が頭をよぎってしまう。

　明治６年（１８７３）１月１日（明治５年１２月３日相当）に太陽暦に改暦されたが、その理
由が面白い。それまでの太陰暦では年に１３回給料を払わなければならないので財政上
の理由から改暦されたらしい。改暦と同時に、現行のような時法も定められた。改暦以前
は下図の十二支を用いた時法が使用されていた。国語の副読本等によく載っているもの
なので、ご存じの方も多いだろう。

午の刻を境に、それまでを 　　　「午前」 ： ａｎｔｅ　ｍｅｒｉｄｉｅｍ 　　　　その後を 　　　「午後」 ： ｐｏｓｔ　ｍｅｒｉｄｉｅｍ 　　ということは今でも用いられている。 　　　　子供の頃に限らず、今でも楽しみなのが 　　　「おやつ」の時間。左図を見ると、午後２時 　　　の前後１時間が「八つ時」であるが、１日 　　　２食だった江戸時代に午後２時頃仕事の 　　　手を休めて間食をとったことが由来と言わ 　　　れる。 　　　　現代でも、おやつとして糖分を補給する 　　　ことは健康上大切と言われている。

　平成２１年１月１日午前９時に「うるう秒」が１秒挿入された。
いつもだったら、「・・・、８時５９分５８、５９、９時、・・・」と時刻が進むのであるが、この日は、
　　　「・・・、　８時５９分５８秒　、　５９秒　、　６０秒　、　９時　、・・・」
と時刻が進み、「８時５９分６０秒」の１秒が挿入された。うるう秒の制度が始まった１９７２年
以来、今回で２３回目になるという。意外に多いね！

　日本では小学校に入学すると必ずと言っていいほど、「算数セット」なるものを買わされる。
その中には、おはじきや三角形、長方形などの図形とともに時計のおもちゃが入っている。
これらを十分に使いこなせるようになるのが日本における算数のリテラシーということになる
のだろう。

時計をいろいろいじくって観察すると、時計にもいろいろな数学的要素 　が潜んでいることが伺える。

　たとえば、長針、短針、秒針のある時計を考えて、下記のように、いろいろ興味ある問題
が目白押しである。

（１）　午前０時に同時に揃ってスタートした後、次の日の午前０時までの間に、長針は短針
　　　を何回追い抜くか？

　答えは、２２回かな．．．。

（２）　午前０時から次の日の午前０時までの一日のうちで、長針と短針が重なるのは何回
　　　あるか？

　答えは、２３回かな．．．。

（３）　午前０時から次の日の午前０時までの一日のうちで、長針と短針が反対向きになる
　　　のは何回あるか？

（解）　長針、短針の午前０時から計った回転の一般角が等しくなる回数を調べればよい。

即ち、長針は１時間当たり３６０度回転するので、午前０時から計って ｍ 時間後の一般角

は、３６０ｍ（度）になる。

　短針は、１時間当たり３０度回転するので、午前０時から計って ｍ 時間後の一般角は、

３０ｍ（度）になる。

　題意より、　３６０ｍ≡３０ｍ＋１８０　　（ｍｏｄ　３６０）　が成り立つ。

即ち、　３６０ｍ−３０ｍ−１８０＝３６０ｎ　より、　３３０ｍ−１８０＝３６０ｎ　で、

　１１ｍ−６＝１２ｎ　から、　ｍ＝（１２ｎ＋６）/１１

　０≦ｍ＜２４　なので、　　０≦（１２ｎ＋６）/１１＜２４　より、−１/２≦ｎ＜４３/２

　この不等式を満たす整数 ｎ は、　ｎ＝０、１、２、・・・、２１　の２２個存在する。

以上から、長針と短針が反対向きになるのは、２２回ある。　（終）


（コメント）　いつ題意のようになるのか大いに気になったので計算してみた。

ｎ＝０　のとき、ｍ＝６/１１＝０．５４５４５４５・・・　これは、０時３２分４３秒３８　くらい？

ｎ＝１　のとき、ｍ＝１８/１１＝１．６３６３６３６・・・　これは、１時３８分１０秒５５　くらい？

ｎ＝２　のとき、ｍ＝３０/１１＝２．７２７２７２７・・・　これは、２時４３分３８秒１１　くらい？

ｎ＝３　のとき、ｍ＝４２/１１＝３．８１８１８１８・・・　これは、３時４９分０５秒２７　くらい？

ｎ＝４　のとき、ｍ＝５４/１１＝４．９０９０９０９・・・　これは、４時５４分３２秒４４　くらい？

ｎ＝５　のとき、ｍ＝６６/１１＝６．０００００００・・・　これは、６時００分００秒００　ちょうど。

ｎ＝６　のとき、ｍ＝７８/１１＝７．０９０９０９０・・・　これは、７時０５分２７秒１６　くらい？

ｎ＝７　のとき、ｍ＝９０/１１＝８．１８１８１８１・・・　これは、８時１０分５４秒３３　くらい？

ｎ＝８　のとき、ｍ＝１０２/１１＝９．２７２７２７２・・・　これは、９時１６分２１秒４９　くらい？

ｎ＝９　のとき、ｍ＝１１４/１１＝１０．３６３６３６・・・　これは、１０時２１分４９秒０５　くらい？

ｎ＝１０　のとき、ｍ＝１２６/１１＝１１．４５４５４５・・・　これは、１１時２７分１６秒２２　くらい？

ｎ＝１１　のとき、ｍ＝１３８/１１＝１２．５４５４５４・・・　これは、１２時３２分４３秒３８　くらい？

ｎ＝１２　のとき、ｍ＝１５０/１１＝１３．６３６３６３・・・　これは、１３時３８分１０秒５５　くらい？

ｎ＝１３　のとき、ｍ＝１６２/１１＝１４．７２７２７２・・・　これは、１４時４３分３８秒１１　くらい？

ｎ＝１４　のとき、ｍ＝１７４/１１＝１５．８１８１８１・・・　これは、１５時４９分０５秒２７　くらい？

ｎ＝１５　のとき、ｍ＝１８６/１１＝１６．９０９０９０・・・　これは、１６時５４分３２秒４４　くらい？

ｎ＝１６　のとき、ｍ＝１９８/１１＝１８．００００００・・・　これは、１８時００分００秒００　ちょうど。

ｎ＝１７　のとき、ｍ＝２１０/１１＝１９．０９０９０９・・・　これは、１９時０５分２７秒１６　くらい？

ｎ＝１８　のとき、ｍ＝２２２/１１＝２０．１８１８１８・・・　これは、２０時１０分５４秒３３　くらい？

ｎ＝１９　のとき、ｍ＝２３４/１１＝２１．２７２７２７・・・　これは、２１時１６分２１秒４９　くらい？

ｎ＝２０　のとき、ｍ＝２４６/１１＝２２．３６３６３６・・・　これは、２２時２１分４９秒０５　くらい？

ｎ＝２１　のとき、ｍ＝２５８/１１＝２３．４５４５４５・・・　これは、２３時２７分１６秒２２　くらい？

　　こんな計算をやっていると、普段味気ない計算も楽しくなりますね！

（４）　長針、短針、秒針上に回転の中心から等距離にある点をとるとき、その３点からなる
　　　三角形で正三角形になる場合はあるか？

（解）　長針、短針、秒針の午前０時から計った回転の一般角が等しくなる回数を調べれば

よい。即ち、長針は１時間当たり３６０度回転するので、午前０時から計って ｍ 時間後の一

般角は、３６０ｍ（度）になる。

　短針は、１時間当たり３０度回転するので、午前０時から計って ｍ 時間後の一般角は、

３０ｍ（度）になる。

　秒針は、１時間当たり３６０×６０＝２１６００度回転するので、午前０時から計って ｍ時間

後の一般角は、２１６００ｍ（度）になる。

　長針→短針→秒針　と時計回りに並ぶ場合は、３０ｍ≡３６０ｍ＋１２０　　（ｍｏｄ　３６０）

より、１１ｍ＋４≡０　　（ｍｏｄ　３６０）　すなわち、　１１ｍ＋４＝３６０ｋ　（ｋは整数）

　２１６００ｍ≡３６０ｍ＋２４０　　（ｍｏｄ　３６０）　　より、

　７５ｍ−１≡０　　（ｍｏｄ　３６０）　すなわち、　７５ｍ−１＝３６０ｈ　　（ｈは整数）

　このとき、　１１ｍ＋４＝３６０ｋ　より、　ｍ＝（３６０ｋ−４）/１１

　０≦ｍ＜２４　なので、　　０≦（３６０ｋ−４）/１１＜２４　より、１/９０≦ｋ＜６７/９０

　この式を満たす整数 ｋ は存在しない。

　長針→秒針→短針　と時計回りに並ぶ場合は、３０ｍ≡３６０ｍ＋２４０　　（ｍｏｄ　３６０）

より、１１ｍ＋８≡０　　（ｍｏｄ　３６０）　すなわち、　１１ｍ＋８＝３６０ｋ　　（ｋは整数）

　２１６００ｍ≡３６０ｍ＋１２０　　（ｍｏｄ　３６０）　　より、

　１７７ｍ−１≡０　　（ｍｏｄ　３６０）　すなわち、　１７７ｍ−１＝３６０ｈ　　（ｈは整数）

　このとき、　１１ｍ＋８＝３６０ｋ　より、　ｍ＝（３６０ｋ−８）/１１

　０≦ｍ＜２４　なので、　　０≦（３６０ｋ−８）/１１＜２４　より、１/４５≦ｋ＜３４/４５

　この式を満たす整数 ｋ は存在しない。

以上から、長針、短針、秒針上に回転の中心から等距離にある点をとるとき、その３点から

なる三角形で正三角形になる場合はない。　（終）

（５）　長針、短針、秒針は、１日に何回重なるか？

　明らかに、午前０時をスタートと考えれば、まず「午前０時」に１回重なっている。この重な
りが、あと何回出現するかを問うているわけだだが、ありそうで実はそれほど起こり得ない
現象である。次の出現は「午後１２時」で、結局、１日に２回しか、長針、短針、秒針は重な
らない。

（解）　午前０時より午後１２時までの間に、長針と短針が重なるのは、１１回ある。

　もしも、午前０時より午後１２時までの間に、長針、短針、秒針が重なるときがあるとすれ

ば、それは、１１回のうちの何れかであり、しかも、１１の約数でなければならない。ところが、

１１は素数なので、約数は、１ と １１ のみである。

　今、午前１時台で長針、短針、秒針が重なるものとする。

　午前１時から計り始めて、ｘ 秒後とする。

　長針は、１秒間に、　３６０/３６００＝１/１０（度）

　短針は、１秒間に、　３０/３６００＝１/１２０（度）　回転するので、長針と短針が重なるとす

ると、（１/１０）ｘ＝３０＋（１/１２０）ｘ　より、　ｘ＝３６００/１１

　すなわち、長針は、午前０時の位置から、　（１/１０）ｘ＝３６０/１１（度）回転している。

　秒針は、１秒間に、　３６０/６０＝６（度）回転するので、秒針の位置は、午前０時の位置か

ら計り始めて、（３６００/１１）×６＝２１６００/１１（度）回転している。

　これらの角度が一致しないので、午前１時台で長針、短針、秒針が重なることはない。

　午後１０時台も同様である。

以上から、１日のうちに、長針、短針、秒針が重なるのは、２回である。　　（終）


　また、次のような時刻に関する問題も時に人を悩ませる。

　仲良し４人組が、午前９時に銀座三越の「ライオン像」前で待ち合わせをした。この像は大
正3年（1914）に誕生して以来、三越の象徴的存在であり、東京における有名な待ち合わせ
場所となっている。ただ、互いの持っている時計が電波時計でなく時刻がてんでんばらばら
で、４人全員がピッタシ約束の９時に集まることはなかった。

　次のような状況で４人が無事待ち合わせ場所に到着できたらしい。

　○　Ａは自分の時計で１分程遅れてしまい皆に申し訳ないと思ったが、先に来ていたＤか
　　　ら、「まだ４分前だよ！」と言われて安心した。

　○　Ｂも自分の時計で２分程遅れてしまい皆に申し訳ないと思ったが、Ｂより先に着いて
　　いたＣから、「まだ３分前だよ！」と言われて安心した。

　○　Ｃは自分の時計では６分前に着いたと思い余裕であったが、Ａよりは遅かった。

　○　Ｄは自分の時計で５分前に一番最初に待ち合わせ場所に着いた。Ｃに聞いたら、Ｃ
　　の時計と３分程ずれていた。

このとき、４人の時計のずれの最大値は如何ばかりであったろうか？


　文章で考えると頭がグチャグチャになってしまうが、次のように、誰か一人、例えばＤの時
計を基準にして表にまとめるとスッキリするだろう。

（参考文献 ：　山根英司　著　　関数とは何だろう　　（講談社ブルーバックス））


　上記のような時刻のズレを問う問題は入試問題に散見される。次の灘中学（２００７）の問
題も面白い。

　Ａ、Ｂ、Ｃ の３つの時計を、ある日の正午に合わせた。その日、Ａが午後６時を示すとき、
Ｂは午後５時５０分を示し、Ｂが午後７時を示すとき、Ｃは午後７時２０分を示した。Ｃがその
日の午後１１時を示すとき、Ａ、Ｂはそれぞれどんな時刻を示すか？

　この問題を見て、ふと疑問に思ったことがある。時計の進み具合は、速さが一定なのか、
加速度が一定なのかということ。多分、小学生対象の試験であるので、「進む速さは一定」
ということが条件だろうが、果たしてこのことを暗黙の了解としていいのだろうか？

　以下では、それぞれの時計の進む速さは一定であるものとして考えることにしよう。

　Ａ、Ｂ、Ｃ の時計の進む速さを、それぞれ ａ 、ｂ、ｃ とすると、

　　正午を時刻の計り始めとして、各時計での経過時間（分）を表にまとめてみた。

　上表より、　３６０/ａ＝３５０/ｂ　、　４２０/ｂ＝４４０/ｃ　なので、

　３６ｂ＝３５ａ　、　２１ｃ＝２２ｂ

よって、　ａ/ｃ＝（ａ/ｂ）（ｂ/ｃ）＝（３６/３５）（２１/２２）＝５４/５５　、ｂ/ｃ＝２１/２２

より、　Ｘ＝６６０・（５４/５５）＝６４８　、　Ｙ＝６６０・（２１/２２）＝６３０　となる。

すなわち、時計Ａは、午後１０時４８分を示し、時計Ｂは、午後１０時３０分を示す。


（コメント）　文章を読んでいるだけでは頭が大混乱ですね！表にして整理することがポイン
　　　　　　トでしょう。


（追記）　平成２２年４月１９日付け

　当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、ＧＡＩ さんが次のような問題を出題された。
（平成２２年４月１８日付け）

　AM１０時 ｘ 分に会場に来た人が用事を済ませ、PM２時５０分過ぎに会場を去ると

きに時計を見たら、来たときに長針と短針で作っていた角度と全く同じ角度に時計の

針が長針と短針の位置が逆転した状態で位置していたという。

　さて、この人が会場に着いた時刻は１０時何分であったのか？

　この問いかけに対して、４月１８日付けで、ＦＮさんが次のように解かれた。
（一部文言等を加筆修正させていただきました．．．ｆ(^^;) 。）

　　　　　

　問題文によれば、時計が上図のようになっているということである。

　左の時計が、「１０時 ｘ 分」、右の時計が、「２時 ｙ 分」を示しているものとする。

ただし、　１０＜ｘ＜１５　、　５０＜ｙ＜５５　である。

　このとき、短針は１時間で３０°進むので、１分間当たり　（１/２）°進む。

　長針は、１時間で３６０°進むので、１分間当たり　６°進む。

　条件より、長針と短針がちょうど逆の位置になり、左右の時計の長針と短針の間の角度が
等しいので、

　　６°・ｘ＝３０°・２＋（１/２）°・ｙ　　すなわち　　ｘ＝１０＋ｙ/１２

　　３０°・２−（１/２）°・ｘ＝３６０°−６°・ｙ　　すなわち　　ｙ＝５０＋ｘ/１２

　が成り立つ。　これを解いて、　ｘ＝２０４０/１４３　、　ｙ＝７３２０/１４３

　これらは条件を満たす。

　２０４０/１４３　を分秒単位に換算すれば、　１４分１５秒９４０４・・・

　７３２０/１４３　を分秒単位に換算すれば、　５１分１１秒３２８６６・・・

　以上から、問題の答えは、「１０時１４分１５秒９４０４・・・」となる。


　ところで、ＦＮさんによれば、問題文を素直に読めば、

　長針と短針が逆になってその間の角が等しい

とも読むことができるという。

　この場合は、　３００＋ｘ/２−６ｘ＝６ｙ−（６０＋ｙ/２）　すなわち、　ｘ＋ｙ＝７２０/１１　とな
り解は無数にある。


　また、出題者のＧＡＩ さんによれば、ｘ や ｙ を用いないで、比例の考えを使って解く方法も
あるとのことであるが、４月２０日付けで、ＨＮ「ｍｉｔａ」さんにその解法をご教示いただいた。
（一部文言等を加筆修正させていただきました．．．ｆ(^^;) 。）

　会場に来た人が会場を去るまでにいた時間で、短針の動いた角度をθとすると、長針は、

　３６０°×４＋３６０°−θ　だけ動いているので、長針と短針の動いた角度の合計は、

　θ＋３６０°×４＋３６０°−θ＝３６０°×５＝１８００°

　となる。長針と短針の動く速さの比は、　６ ： １/２＝１２ ： １　なので、

　θ＝１８００°×１/１３＝（１８００/１３）°

　１０時ちょうどの短針と長針とのなす角は６０°であるが、１分間当たり短針と長針のなす

角は、６−１/２＝１１/２（度）ずつ開いていくので、１０時 ｘ 分時点での短針と長針とのなす

角は、　６０＋（１１/２）ｘ　（度）　となる。

　よって、　６０＋（１１/２）ｘ＝１８００/１３　が成り立つ。

これを解いて、　ｘ＝２０４０/１４３　となり、分秒単位に換算すれば、１４分１５秒９４０４・・・


（コメント）　ｍｉｔａ さん、とても簡明で初等的な解法ですね！ｍｉｔａ さんに感謝します。


　ＦＮさんより、上記の問題に関連する問題が提起されました。（平成２２年４月２５日付け）

　上記の問題では、時計の長針と短針がちょうど入れ替わった位置にありました。では、あ
る時刻の長針と短針を入れ替えて正しい時刻を表すような場合は、１２時間の間に何通り
あるでしょうか。

　「０時＝１２時」は、もちろん条件を満たします。これは１つとします。
　「１０時(２０４０/１４３)分」と「２時(７３２０/１４３)分」は、もちろんそれぞれ１つとします。

　この問題について、早速、ＨＮ「凡人」さんより解答が寄せられました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２２年４月２６日付け）

　各時刻で、数字と数字の５分間に、１回ずつ存在する。

ただし、０時０〜５分と１１時５５分〜１２時には存在しない。また、０時（＝１２時）に、１回存
在する。

　以上から、　１２（回）×１２（時間）−２＋１＝１４３　（通り）

　例えば、１時台であれば、

１時(６０/１４３)分と０時(７２０/１４３)分、１時(６０/１１)分　（長針と短針が重なる）
１時(１５００/１４３)分と２時(８４０/１４３)分、
　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・
１時(７９８０/１４３)分と１１時(１３８０/１４３)分　　の１２回 ある。


　出題者のＦＮさんからのコメントです。（平成２２年４月２６日付け）

　凡人さん、正解です！　私なら、方程式を作って解くという手にすぐに持っていってしまい
ます。すっきり理解できたかどうかは多少あやしいですがなんとかわかったような気がしま
す。この問題は数学パズルなんかにも載ってるらしいですが、以前に「数学セミナー」の「エ
レガントな解答を求む」で出題されたことがあるらしいです。出題者の用意していた解答は
次のようなものだったようです。

　横軸に短針、縦軸に長針をとって（目盛りは、０から１２でも０から６０でもよい）グラフを書
くと、傾きが１２の１２本の線分になる。短針と長針を入れ替えると、傾きが１/１２の１２本の
線分になり、交点は、１２×１２＝１４４　になる。０時０分＝１１時６０分が重複して入ってい
るので、１４３本。

　実質的には凡人さんと同じものかと思います。

（コメント）　なるほど！グラフを使う手があるんですね。視覚的にハッキリしますね。
　　　　　　ＦＮさん、凡人さんに感謝します。

　


（追記）　平成２２年５月２４日付け

　私の大好きな番組「熱血！平成教育学院」（ＮＴＶ系）で昨日マス北野から次のような問題
が出題された。

　床に転がっているアナログ時計を見たら、短針と長針のなす角が６５度で、ちょうど
「？時？０分」を示していた。これって、一体「何時何分？」。
　ただし、アナログ時計には数字は書かれていないものとする。

　正解者は宇治原さんただ一人で難しかった模様。しかし、次のように考えれば容易かな？

　ポイントは長針が「？０分」という点！時計の１目盛りは、３６０°÷１２＝３０°で、短針と

長針のなす角が６５°ということから、短針は正時より、９０°−６５°＝２５°進んでいるこ

とになる。短針は、１０分当たり５°進むので、２５°÷５°＝５　より、「５０分」進んでいるこ

とになる。よって、長針の指す数字は「１０」で、短針は数字の「７」と「８」の間にあることにな

る。したがって、正解は、「７時５０分」になる。

（コメント）　面白い問題でした。マス北野さんに感謝！


（追記）　平成２２年９月６日付け

　時計の問題というと、

　短針は１時間で３０°進むので、１分間当たり　（１/２）°進む

　長針は、１時間で３６０°進むので、１分間当たり　６°進む

が基本になるが、次のような考え方も捨てがたい。


問　題　　４時台で、時計の長針と短針が重なるのは、４時何分か？

（解）　０時ちょうどに長針と短針は重なっている。これから、１２時間に長針は１２周、短針

　は１周する。すなわち、長針は、短針を１１回追い越す。それは、１２/１１時間毎に起こる。

このとき、０時から数えて４回目の追い越しは、　４×（１２/１１）＝４８/１１時間後　である。

「４時何分」かを計算するために、

　４８/１１−４＝４/１１（時間）、４/１１×６０＝２４０/１１＝２１・（９/１１）　（分）

　９/１１×６０＝５４０/１１＝４９・（１/１１）　（秒）

より、「４時２１分４９秒１/１１」である。　　（終）


（別解）　短針は１時間で３０°進むので、１分間当たり　（１/２）°進む

　長針は、１時間で３６０°進むので、１分間当たり　６°進む

ので、求める時刻を「４時 ｎ 分」とすると、３０°×４＋（１/２）°×ｎ ＝６°×ｎ

よって、　（１１/２）ｎ＝１２０　より、　ｎ＝２４０/１１

即ち、４時台で、時計の長針と短針が重なるのは、４時２１分４９秒１/１１　である。　（終）


（追記）　令和２年２月９日付け

　２つの時刻を足したり引いたりすることは、日常生活でもよくあることだろう。

例（１）　今、１４時４３分です。今から１時間２８分後は何時何分ですか？

例（２）　今、１４時４３分です。今から３時間５６分前は何時何分ですか？

　素直に計算すれば、例（１）は、　１４時４３分＋１時間２８分＝１６時１１分

　例（２）は、　１４時４３分−３時間５６分＝１０時４７分

　このように時分間で繰り上がり、繰り下がりが発生する場合は、次のように計算する裏技
があることを最近知ることができた。

　例（１）　筆算で普通に、　１４４３＋１２８＝１５７１　と計算し、その結果に「４０」を加えると、

　１５７１＋４０＝１６１１　→　１６時１１分

　例（２）　筆算で普通に、　１４４３−３５６＝１０８７　と計算し、その結果から「４０」を引くと、

　１０８７−４０＝１０４７　→　１０時４７分

　このからくりは、十進数では１００で繰り上がりが発生するが、６０進数では６０で繰り上がり
が発生する。両者の補正をするために「４０」を加えるわけである。

　繰り下がりの場合も考え方は、繰り上がりと同様である。