当ＨＰの読者のＫ．Ｓ．さんより、平成２４年９月９日付けで標記話題をメールで頂いた。
パスカルの三角形は平面全体へ拡張することができる。
「数学する精神」（加藤文元 著 中公新書）にあった内容（半平面への拡張）を踏まえ、全
平面への拡張を考察してみました。
通常、２項係数 ｎＣｒ は、ｎ＞０、ｒ＞０ のとき、
ｎＣｒ＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）・・・（ｎ−ｒ＋１）/ｒ！
と定義されている。 ｒ＞ｎ ならば、ｎＣｒ＝０ とすると、
（１＋ｘ）ｎ＝１＋ｎＣ1ｘ＋ｎＣ2ｘ2＋・・・＋ｎＣｎｘｎ＋ｎＣｎ+1ｘｎ+1＋・・・
と級数の形に表すことができる。次に、ｎ＜０ のときも、
（１＋ｘ）ｎ＝１＋ｎＣ1ｘ＋ｎＣ2ｘ2＋・・・＋ｎＣｎｘｎ＋ｎＣｎ+1ｘｎ+1＋・・・
としてよい。実際に、 １/（１−ｘ）ｎ+1＝Σｋ=0〜∞ ｎ+ｋＣｋｘｋ （ｎ≧０） が成り立つことは、
１/（１−ｘ）ｎ+1 の第ｋ次導関数（ｋ≧1）が
（ｎ+1）（ｎ+2）・・・（ｎ+ｋ）（１−ｘ）-ｎ-ｋ-1＝ｋ！ｎ+ｋＣｋ（１−ｘ）-ｎ-ｋ-1
であることから、Ｔａｙｌｏｒ の定理より明らかだろう。このことから、
１/（１−ｘ）ｎ+1＝Σｋ=0〜∞ ｛（-ｎ-1）（-ｎ-2）・・・（-ｎ-ｋ）｝/ｋ！・（-ｘ）ｋ
なので、敢えて、負の自然数 ｋ に対して、
ｋ！＝（−ｋ）（−ｋ−１）・・・（−２）（−１）
と考えて、 ｛（-ｎ-1）（-ｎ-2）・・・（-ｎ-ｋ）｝/ｋ！＝-ｎ-1Ｃｋ と２項係数を拡張すれば、
１/（１−ｘ）ｎ+1＝Σｋ=0〜∞ -ｎ-1Ｃｋ・（-ｘ）ｋ
すなわち、 １/（１＋ｘ）ｎ＝Σｋ=0〜∞ -ｎＣｋ・ｘｋ
と書けることが分かる。このとき、ｎ＜０ に対して、
（１＋ｘ）ｎ＝１/（１＋ｘ）-ｎ＝Σｋ=0〜∞ ｎＣｋ・ｘｋ
と級数の形に表すことができる。−１＜ｘ＜１ で意味を持ち、テイラー展開となる。
ｎ＞０、ｒ＜０ や ｎ＜０、ｒ＜０ のときも同様に、 ｒ！＝（−ｒ）（−ｒ＋１）・・・（−２）（−１）
とすれば、平面上原点を中心に対称な値を持つように定義されると思う。そのとき、級数的に
どのような意味を持つでしょうか？
