自然対数の底ｅが持つ最も優れた、そして最も美しい性質は、
という微分の公式だろう。この性質のおかげで計算公式が大変簡略化される。この性質は、
とも言い換えることができる。従って、
となる ａ の値を、ｅと定義する場合もある。しかし、本来のｅは、このような美しい形で世に
登場したわけではない。
ｅについては、ネーピア（Ｊｏｈｎ Ｎａｐｉｅｒ）の１５９４年から１６１４年までの２０年間の労作
Ｍｉｒｉｆｉｃｉ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｏｒｕｍ ｃａｎｏｎｉｓ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏ 「素敵な対数表の解説」
を抜きに語ることは出来ない。
彼が生きた時代１６〜１７世紀は、あらゆる分野で科学が進展した時代であった。コペルニ
クスの地動説が受け入れられ、新しい宇宙観のもと、ケプラーは惑星の３つの運動法則を発
見、また、マゼランの地球一周航海が成功（１５２１年）し、メルカトールによる新しい世界地図
の発明（１５６９年）は航海術に大きな影響を与えた。これらの発展に伴って、科学者に数値計
算の重労働が課せられることになった。コンピュータなどない時代なので、紙と鉛筆で地道に
計算するほかなかった。（加法と減法しか出来ないが、１７世紀半ばにパスカルは計算機を考
案している。ただし、計算の効率は悪かったらしい。）
時代は、この退屈な重労働から科学者たちを解放するような発明を待っていた。この発明に
立ち向かったのがネーピアであった。残念ながら、ネーピアがどのような着想で対数の発明に
到達したのかは不明である。しかし、それを類推することは可能だ。彼は、三角法には精通し
ていたので、当然、加法定理による積和の公式は知っていただろう。この公式は、三角比の
積の計算を、和の計算に置き換える働きを持つ。同じように、幾何数列に対して、算術数列が
対応すること（つまり、公比を ｒ として、ｒ の２乗と ｒ の４乗を掛ける場合、指数の和２＋４＝６
を求めて、ｒ の６乗とするに等しい）も知っていただろう。（１８２９年エコールポリテクニクの口
頭試問で、エヴァリスト・ガロアが不合格となった、いわくつきの問題である！）
このように、積の世界を和の世界に導くものとして、ネーピアは対数という着想を得たのでは
ないだろうか。
ネーピアは、ある１つの数Ｘを定めて、任意の数Ｎを N ＝ Xn と表すようにしたかったらしい。
もし、これが出来れば、
M ＝ Xm 、 N ＝ Xn のとき、M × N ＝ Xm+n 、 M ÷ N ＝ Xm-n
となるからである。
問題は、Ｘの値として何が適当かということであった。例えば、Ｘ＝２ だと、幾何数列は、
１，２，４，８，・・・となり、値が飛び飛びになって隙間があきすぎてしまう。
そこでネーピアは、Ｘとして十分小さな数を選べば、累乗がゆっくり変化していくのではと考え
た。しかし、あまり小さすぎると、累乗の変化の仕方が遅すぎてしまう。ネーピアは、１に近いが
近すぎない数として、Ｘ＝０．９９９９９９９とした。つまり、Ｘ＝１−（１０の−7乗）である。このＸを
用いて幾何数列を計算するわけであるが、ネーピアはさらに、なるべく小数の計算を使わない
ように工夫した。その当時、小数は既に知られていたが、まだ一般の人は使い慣れていなかっ
たからである。そこで、数列の各項に１０の７乗を掛けることにしたのである。このことにより、
小数計算から解放されることになった。
１０の７乗 ＝１０，０００，０００
(１０の７乗)×(Ｘ） ＝ ９，９９９，９９９
(１０の７乗)×(Ｘの２乗） ＝ ９，９９９，９９８
(１０の７乗)×(Ｘの３乗） ＝ ９，９９９，９９７
・・・・・・・・・・・・・・・・・・
(１０の７乗)×(Ｘの１００乗）＝ ９，９９９，９００
Ｎ＝(１０の７乗)×(ＸのＬ乗）と書くとき、Ｌは
Ｎのネーピアの対数（ｌｏｇａｒｉｔｈｍ＝比ｌｏｇｏｓ＋数ａｒｉｔｈｍｏｓ）
いわれる。
このとき我々は、現代風の ｅ の定義：
を思い出す。
即ち、ネーピアの対数は、現代風にいえば、底を１/eとする対数を意味する。
