に答えよ。
（１） 上の等式が成り立つか確かめよ。
（２） cos(2π/7)＋cos(4π/7)＋cos(6π/7) の値はいくらか。
（コメント） この手の因数分解は、私が高校生の頃は常識でしたが、最近の高校ではあまり
取り扱わなくなっているような気がする。
（１） ｘ3＋ｙ3＋ｚ3−３ｘｙｚ＝（ｘ＋ｙ）3−３ｘｙ（ｘ＋ｙ）＋ｚ3−３ｘｙｚ
＝（ｘ＋ｙ）3＋ｚ3−３ｘｙ（ｘ＋ｙ）−３ｘｙｚ
＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）（（ｘ＋ｙ）2−（ｘ＋ｙ）ｚ＋ｚ2）−３ｘｙ（ｘ＋ｙ＋ｚ）
＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ2＋２ｘｙ＋ｙ2−ｚｘ−ｙｚ＋ｚ2−３ｘｙ）
＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ2＋ｙ2＋ｚ2−ｘｙ−ｙｚ−ｚｘ）
（２）については、当ＨＰの「チェビシェフの多項式」が参考になると思う。
答えは、−１/２ だが、その解法には、２倍角や３倍角の公式が用いられる。（１）をどの
ように用いるのか、現在検討中。
らすかるさんからのコメントです。（平成３０年１月２７日付け）
かなり遠回りしているような気がしますが、（１）の因数分解を使って式をこねくり回したら、
たまたま出ました。
x=cos(2π/7)、y=cos(4π/7)、z=cos(6π/7)、k=x+y+z とおく。倍角（半角）の公式から、
x2={1+cos(4π/7)}/2 、y2={1+cos(8π/7)}/2={1+cos(6π/7)}/2
z2={1+cos(12π/7)}/2={1+cos(2π/7)}/2
なので、 x2+y2+z2={cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)+3}/2=(k+3)/2
三倍角の公式から、
x3={3cos(2π/7)+cos(6π/7)}/4
y3={3cos(4π/7)+cos(12π/7)}/4={3cos(4π/7)+cos(2π/7)}/4
z3={3cos(6π/7)+cos(18π/7)}/4={3cos(6π/7)+cos(4π/7)}/4
なので、 x3+y3+z3={4cos(2π/7)+4cos(4π/7)+4cos(6π/7)}/4=k
また、 x2+y2+z2=(k+3)/2、(x+y+z)2=k2 から、xy+yz+zx={k2-(k+3)/2}/2=(2k-3)(k+1)/4
積和公式から、
xy={cos(6π/7)+cos(2π/7)}/2=(z+x)/2 より、
xyz=z(z+x)/2=(z2+zx)/2={(1+x)/2+(y+z)/2}/2=(1+x+y+z)/4=(1+k)/4 ・・・(*)
これらを、（１）式に代入すると、 k-3(1+k)/4=k{(k+3)/2-(2k-3)(k+1)/4}
整理して、 (k-3)(k+1)(2k+1)=0
x＜1、y＜1、z＜1 なので、k-3≠0
また、(*)から、k+1≠0 なので、2k+1=0 よって、k=-1/2
# (x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx) に、
x+y+z=k、x2+y2+z2=(k+3)/2、xy+yz+zx=k（和積の公式から導出）
を代入した方が簡単に出ますね。
実際に、 k2=(k+3)/2+2k より、 (k-3)(2k+1)=0 で、k-3≠0 から、k=-1/2
