e=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+1/7!+1/8!+･･･
はよくみかける。これを変形していくと、
e=1/1!+2/2!+3/3!+4/4!+5/5!+6/6!+7/7!+8/8!+･･･
e=1/0!+3/2!+5/4!+7/6!+9/8!+･･･
1/e=1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-1/5!+1/6!-1/7!+1/8!-･･･
1/e=0/1!+2/3!+4/5!+6/7!+8/9!+10/11!+･･･
e/2=1/1!+2/3!+3/5!+4/7!+5/9!+･･･
3*e/2=1/1!+(1+2)/2!+(1+2+3)/3!+(1+2+3+4)/4!+･･･
2*e=1/0!+2/1!+3/2!+4/3!+5/4!+6/5!+･･･
2*e=1^2/1!+2^2/2!+3^2/3!+4^2/4!+5^5/5!+･･･
3*e=0*1^2/1!+1*2^2/2!+2*3^2/3!+3*4^2/4!+4*5^2/5!+･･･
5*e=1^2/0!+2^2/1!+3^2/2!+4^2/3!+5^2/4!+6^2/5!+･･･
e-1=0^2/1!+1^2/2!+2^2/3!+3^2/4!+4^2/5!+5^2/6!+･･･
e+1=0*2/1!+1*3/2!+2*4/3!+3*5/4!+4*6/5!+5*7/6!+･･･
1=0/0!+1/2!+2/3!+3/4!+4/5!+5/6!+6/7!+7/8!+･･･（突然eが消えるのが面白い）
･･････････････････････
といろいろ出てくる。では、数学定数のもう一つの代表格πが階乗ｎ！とどれ位相性がある
のかを見るため、
π=a0/0!+a1/1!+a2/2!+a3/3!+a4/4!+a5/5!+a6/6!+a7/7!+a8/8!+･･･
とした場合の｛a0,a1,a2,a3,a4,a5,･･･} を見つけてほしい。
（追記） 平成２９年５月３０日付け
e=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+1/7!+1/8!+･･･ は変形すれば、
e=0/0!+1/1!+2/2!+3/3!+4/4!+5/5!+6/6!+7/7!+8/8!+･･･
そこで、
A=0^2/0!+1^2/1!+2^2/3!+4^2/4!+5^2/5!+6^2/6!+7^2/7!+8^2/8!+･･･
B=0^3/0!+1^3/1!+2^3/3!+4^3/4!+5^3/5!+6^3/6!+7^3/7!+8^3/8!+･･･
C=0^5/0!+1^5/1!+2^5/3!+4^5/4!+5^5/5!+6^5/6!+7^5/7!+8^5/8!+･･･
なる無限級数の極限値は如何なるものになるでしょう？
DD++さんからのコメントです。（平成２９年６月１日付け）
途中で級数がおかしいのは誤記だと信じるなら、
f[0](x) = e^x 、f[n+1](x) = xf'[n](x) とすると、
f[0](x) = e^x
f[1](x) = x * e^x
f[2](x) = (x^2+x) * e^x
f[3](x) = (x^3+3*x^2+x) * e^x
f[4](x) = (x^4+6*x^3+7*x^2+x) * e^x
f[5](x) = (x^5+10*x^4+25*x^3+15*x^2+x) * e^x
なので、 A = f[2](1) = 2e 、B = f[3](1) = 5e 、C = f[5](1) = 52e
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年６月１日付け）
すみません。一つ跳ばしてタイプしていました。
バッチリと正解です。ベル数B(n)の記述式で、 B(n)=1/e*Σ[k=0,∞]k^n/k! なる式をメモ
していたのとちょうど結びついたので出題していました。
従って、一般に、
0^n/0!+1^n/1!+2^n/2!+3^n/3!+4^n/4!+5^n/5!+6^n/6!+･･･=B(n)*e
ここに、B(n)はベル数(参考：「A000110」)で、n=0,1,2,3,･･･において、
{B(n)}:1,1,2,5,15,52,203,877,4140,21147,･･･
DD++さんのf[n](x)での式の係数には第２スターリング数が、つまり、x=1 を入れることで、
ベル数が生まれているんですね。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年６月２日付け）
パスカルの三角形での規則で数字を作り出していくと、
n＼k:1,2,3,4,5,･･･
1:1
2:1,1
3:1,2,1
4:1,3,3,1
5:1,4,6,4,1
6:1,5,10,10,5,1
･････････････
一般に、第n行第k列T(n,k)が、 T(n,k)=T(n-1,k-1)+T(n-1,k) の規則で動かすと、
T(n,k)=n!/((n-k)!*k!) 、Σ[k=1,n]T(n,k)=2^n
が起こり、展開式等に大いに活用できる。そこで、この産み出すルールを少し変更してみる
と、
T(n,k)=T(n-1,k-1)+k*T(n-1,k)
からは、
n＼k:1,2,3,4,5,･･･
1:1
2:1,1
3:1,3,1
4:1,7,6,1
5:1,15,25,10,1
6:1,31,90,65,15,1
･････････････
で、DD++さんが作っていた展開式の係数に用いていた第２種スターリング数なる数が産み
出されてくる。
（見分けのつくn個の品物を見分けのつかないk個の箱に収める方法を与える。）
そして、 Σ[k=1,n]T(n,k)=B(n) なるベル数B(n)と呼ばれる数が構成できる。
（見分けのつくn個の品物を見分けのつかないn個の箱に空箱を許して分配する方法数でも
ある。）
また、ルールを、
T(n,k)=T(n-1,k-1)+T(n-k,k) ただし、T(n,s)=0(n<s)
で作り出すと、
n＼k:1,2,3,4,5,･･･
1:1
2:1,1
3:1,1,1
4:1,2,1,1
5:1,2,2,1,1
6:1,3,3,2,1,1
･････････････
Σ[k=1,n]T(n,k)=P(n); {P(n)}={1,2,3,5,7,11,15,22,30,42,･･･}
この一般式を作るのは困難を極める。しかし、数学的事象の中にしばしば出現してくる自
然数nの分割数P(n)を与えてくれる。
以前、多角数拡張でのオイラーの５角数定理とこの自然数の分割数が深く結びついてい
ることを知ったので以下まとめてみました。
５角数 {1,5,12,22,35,･･･} を一般に表す式： f(n)=n*(3*n-1)/2 (n=1,2,3,･･･) に対し、nに
負整数も許容し産み出される数を並べてみると、
{1,2,5,7,12,15,22,26,35,40,51,57,70,･･･}
となる。（拡張５角数と呼ぶことにする。） この列の一般項G(n)は、
g(n)=n (n:奇数) 、g(n)=n/2 (n:偶数)
でルール化すれば、 g(n)=n*(3-(-1)^n)/4 で、
G(n)=Σ[k=1,n]g(k)=(6*n^2+6*n+1-(2*n+1)*(-1)^n)/16
{G(n)}:1,2,5,7,12,15,22,26,35,40,51,57,70,77,92,100,117,126,145,155,･･･
なる数が並んでいく。また、
g(n)=n (n:奇数) 、g(n)=(r-4)*n/2 (n:偶数)
で、同様な経路を辿れば拡張r角数が作れる。
ここで、まったくこれとは関係が無さそうな自然数nの分割数P(n)なるものを調べると、
n=1: 1=1 1通り
n=2: 2=1+1 2通り
n=3: 3=2+1=1+1+1 3通り
n=4: 4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1 5通り
n=5: 5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1+1=1+1+1+1+1+1 7通り
以下、
P(6)=11,P(7)=15,P(8)=22,P(9)=30,P(10)=42,P(11)=56,P(12)=77,P(13)=101
P(14)=135,P(15)=176,P(16)=231,P(17)=297,P(18)=385,P(19)=490,P(20)=627,･･･
しかし、これを表す一般式を構成することは困難を極め、1937年ラーデマッハーが正確な
表示式を構成するも、その姿は複雑な電子回路を見るようで近づき難い。
ところが、オイラーはこの分割数と{G(n)}を結びつける関係式を発見した。それが、G(n)に
対して符号(+,-)を割り当てる。
{G(n)}:1,2,5,7,12,15,22,26,35,40,51,57,70,77,92,100,117,126,145,155,･･･
-,-,+,+, -, -, +, +, -, -, +, +, -, -, +, +, -, -, +, +,･･･
符号は式を結ぶ記号に、数字はP(n-G(k))の形に採用して、
P(n)-P(n-1)-P(n-2)+P(n-5)+P(n-7)-P(n-12)-P(n-15)+P(n-22)+P(n-26)-P(n-35)-･･･==0
ただし、P(0)=1 とする。
n=12で実験して、 P(12)-P(11)-P(10)+P(7)+P(5)-P(0)=0
よって、
P(12)=P(11)+P(10)-P(7)-P(5)+P(0)
=56 +42 -15 -7 +1
=77
ｎ=20では、
P(20)=P(19)+P(18)-P(15)-P(13)+P(8)+P(5)
=490 +385 -176 -101 +22 +7
=627
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年６月９日付け）
上記で、自然数の分割数 p(n) ：
{p(n)}:{1,2,3,5,7,11,15,22,30,42,56,77,101,135,176,231,297,385,490,627,792,1002,
1255,1575,1958,2436,3010,3718,4565,5604,･･･}
が拡張５角数(1,2,5,7,12,15,22,26,35,40,･･･)の数を用いて、
p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+p(n-15)-p(n-22)-p(n-26)+p(n-35)+p(n-40)-･･･
で、他の分割数と結ばれていることを述べた。
さらに、この関係式が約数関数 sigma(n) （ｎの約数の全総和）に対しても、逆に拡張５角数
以外のｎに対し使えることが起こることを知りました。
s(n)=sigma(n) と置きなおしてみると、
{s(n)}：{1,3,4,7,6,12,8,15,13,18,12,28,14,24,24,31,18,39,20,42,32,36,24,60,31,42,40,56,30,72,･･･}
で、そこで、上とそっくり同じ関係式を使うと、
s(n)=s(n-1)+s(n-2)-s(n-5)-s(n-7)+s(n-12)+s(n-15)-s(n-22)-s(n-26)+s(n-35)+s(n-40)-･･･
＜確認＞
n=6なら、
s(6)=s(5)+s(4)-s(1)
=6 +7 -1=12 OK
n=10なら、
s(10)=s(9)+s(8)-s(5)-s(3)
=13 +15 -6 -4=18 OK
n=20なら、
s(20)=s(19)+s(18)-s(15)-s(13)+s(8)+s(5)
=20 +39 -24 -14 +15 +6=42 OK
従って、s(2),s(5),s(7),s(12),s(15),･･･からの関係式は使えない。ただし、これらは、
s(2)=2+s(1)=2+1=3
s(5)=-5+s(4)+s(3)=-5+74=6
s(7)=-7+s(6)+s(5)-s(2)=-7+12+6-3=8
s(12)=12+s(11)+s(10)-s(7)-s(5)=12+12+18-8-6=28
s(15)=15+s(14)+s(13)-s(10)-s(8)+s(3)=15+24+14-18-15+4=24
･････････････
でうまくいく。扱う対象が違っても、同じ形式の関係式が利用できるなんて面白い！
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年６月５日付け）
e とπの２つの数学定数を同じ土俵に載せてみると、
e=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+1/7!+1/8!+1/9!+1/10!+･･･
π=3/0!+0/1!+0/2!+0/3!+3/4!+1/5!+5/6!+6/7!+5/8!+0/9!+1/10!+･･･ (参照：「A007514」)
と全く無関係を装っているが、オイラーにより、 e^(π*i)=-1 と驚くべき繋がりが表れて
くる。
また、ラマヌジャンによると、 √(π*e/2)=A+B (「A059444」を参照)
ただし、A=1+1/(1*3)+1/(1*3*5)+1/(1*3*5*7)+1/(1*3*5*7*9)+･･･ (「A060196」を参照）
B=1/(1+1/(1+2/(1+3/(1+4(1+5/(1+6/(1+7/(1+･･･))))))) (「A108088」を参照)
と、これまた調和と言える関係である世界観を呈してくれる。ただ、
√(π*e/2)=2/0!+0/1!+0/2!+0/3!+1/4!+2/5!+5/6!+5/7!+3/8!+7/9!+7/10!
+8/11!+5/12!+6/13!+6/14!+7/15!+15/16!+5/17!+8/18!+5/19!+7/20!+･･･
で、これは規則があるとはいい難い。
そこで、次のπの集団がeを用いたどんな姿に変身できるのかを探ってほしい。
X=1/(1+π^2)+1/(1+(2*π)^2)+1/(1+(3*π)^2)+1/(1+(4*π)^2)+1/((1+(5*π)^2)+･･･
Y=1/(1+π^2)^2+1/(1+(2*π)^2)^2+1/(1+(3*π)^2)^2+1/(1+(4*π)^2)^2+1/((1+(5*π)^2)^2+･･･
Z=1/(1+π^2)^3+1/(1+(2*π)^2)^3+1/(1+(3*π)^2)^3+1/(1+(4*π)^2)^3+1/((1+(5*π)^2)^3+･･･
DD++さんからのコメントです。（平成２９年６月７日付け）
無限乗積展開：sinhx/x = (1+x^2/π^2) * (1+x^2/(2π)^2) * (1+x^2/(3π)^2) * ……
で、両辺の対数をとって、
log(sinhx/x) = log(1+x^2/π^2) + log(1+x^2/(2π)^2) + log(1+x^2/(3π)^2) + ……
両辺を微分して、2x で割ると、
cothx/(2x) - 1/(2x^2) = 1/(x^2+π^2) + 1/(x^2+(2π)^2) + 1/(x^2+(3π)^2) + ……
さらに、両辺を微分して、-2x で割ると、
(cothx)^2/(4x^2) + cothx/(4x^3) - 1/(4x^2) - 1/(2x^4)
= 1/(x^2+π^2)^2 + 1/(x^2+(2π)^2)^2 + 1/(x^2+(3π)^2)^2 + ……
さらに、両辺を微分して、-4x で割ると、
(cothx)^3/(8x^3) + 3(cothx)^2/(16x^4) - cothx/(8x^3) + 3cothx/(16x^5) - 3/(16x^4) - 1/(2x^6)
= 1/(x^2+π^2)^3 + 1/(x^2+(2π)^2)^3 + 1/(x^2+(3π)^2)^3 + ……
これらに、x=1 を代入して、
X = coth1/2 - 1/2 = 1/(e^2-1)
Y = (coth1)^2/4 + coth1/4 - 3/4 = (-e^4+8e^2-3)/(4(e^2-1)^2)
Z = (coth1)^3/8 + 3(coth1)^2/16 + coth1/16 - 11/16 = (-5e^6+41e^4-31e^2+11)/(16(e^2-1)^3)
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年６月７日付け）
sinhx/x の無限乗積展開からの変形を巧みに利用されているのを見て、いや〜勉強になり
ます。理由はよくわからず、こんなにも無関係に思える２つの数学定数に強い結びつきが存
在しているんだと、あるところで読んでいた過去のメモを元に出題していました。
最後の式変形は、coth1=(e^2+1)/(e^2-1) でいいんですよね。
これで２つは強く結びつくんですね。（やっと腹に納まった感がします。）
メモをさらに探していたら、
1/(1+e^π)+3/(1+e^(3*π))+5/(1+e^(5*π))+7/(1+e^(7*π))+･･･=1/4*Bernoili(2)=1/24
1/(1+e^π)+3^5/(1+e^(3*π))+5^5/(1+e^(5*π))+7^5/(1+e^(7*π))+･･･=31/12*Bernoili(6)=31/504
1/(1+e^π)+3^9/(1+e^(3*π))+5^9/(1+e^(5*π))+7^9/(1+e^(7*π))+･･･=511/20*Bernoili(10)=511/264
･･･････････････････････
一般に、k(0,1,2,3,･･･)に対し、
Σ[n=1,3,5,･･･,∞] n^(4*k+1)/(1+e^(n*π))=(2^(4*k+1)-1)/(8*k+4)*Bernoili(4*k+2)
であるという。計算すれば確かに成立はするが、e^π (e^(i*π)ではなく。) が、かくもベルヌ
ーイ数と深く関わっているとは想像だにできない。しかも(無理数)^(無理数)が寄りに寄り集ま
って有理数を構成している！一体奥深いところでは何が起こっているのか？
DD++さんからのコメントです。（平成２９年６月１４日付け）
Σ[k=1...∞] k^5/(e^(2kπ)-1) なんかも有理数になるようですね。
（小数で計算しても有理数だとわかりにくければ7倍するとわかりやすいかと思います）
一週間あれこれ考えて、Σa[k]/(e^(kπ)-1) が時々有理数を生み出すこと、そこにζ(2n)
が関わってくるっぽいこと（それはつまりB(2n)が関わってくることでもあります）、分母の 8k+4
の由来、などがだんだん理解できてきました。
ただ、GAI さんの式は分母の後半が -1 じゃなく +1 なのがうまく処理できない……。
1/(x+1) = 1/(x-1) - 2/(x^2-1) でうまくいくと思ったのになあ。
DD++さんからのコメントです。（平成２９年６月１４日付け）
Σ[m=1...∞] m^(4k+1)/(e^(2mπ)-1) （ただし k=1,2,3,……） が有理数になる証明はできま
した。
（GAI さんの式と指数 4k+1 で揃えるために Σ の変数を k から m に変更しました）
これも e^π が集まってベルヌーイ数絡みの有理数を作る例ではあるので、裏側はこんな
感じらしいですというのを紹介する意味で、証明を書いておきます。
（いろいろ試行錯誤していたので、部分的に修正ミスがあるかもしれませんがご容赦ください）
sinh(πx) の無限乗積展開から出発します。
sinh(πx) = πx * (1+x^2) * (1+x^2/4) * (1+x^2/9) * ……
両辺を対数微分すると、
πcoth(πx) = 1/x + 2x/(x^2+1) + 2x/(x^2+4) + 2x/(x^2+9) + ……
各分数を分解して、
πcoth(πx) = 1/x + {1/(x+i)+1/(x-i)} + {1/(x+2i)+1/(x-2i)} + {1/(x+3i)+1/(x-3i)} + ……
（※中カッコを外すと絶対収束しなくなるので、外せません）
この両辺について、それぞれ、「4k+1回微分する」「x=1,2,3,…… で無限和をとる」を計算し
ます。まず、左辺から、x の実部が正であること、つまり e^(-2πx) の絶対値が 1 未満であ
ることを仮定して計算します。
πcoth(πx)
= π(e^(πx)+e^(-πx))/(e^(πx)-e^(-πx))
= π(1+e^(-2πx))/(1-e^(-2πx))
= π + 2πe^(-2πx)/(1-e^(-2πx))
= π + 2πe^(-2πx) + 2πe^(-4πx) + 2πe^(-6πx) - ……
これを 4k+1 回微分すると、
-(2π)^(4k+2) { e^(-2πx) + 2^(4k+1)*e^(-4πx) + 3^(4k+1)*e^(-6πx) + …… }
さらに、 x=1,2,3,…… で無限和をとると、項別に無限等比級数として収束し、その総和は、
-(2π)^(4k+2) { e^(-2π)/(1-e^(-2π)) + 2^(4k+1)*e^(-4π)/(1-e^(-4π))
+ 3^(4k+1)*e^(-6π)/(1-e^(-6π)) + …… }
= (2π)^(4k+2) { 1/(e^(2π)-1) + 2^(4k+1)/(e^(4π)-1) + 3^(4k+1)/(e^(6π)-1) + …… }
一方、右辺で、4k+1 回微分すると、
-(4k+1)! * [ 1/x^(4k+2) + {1/(x+i)^(4k+2)+1/(x-i)^(4k+2)}
+ {1/(x+2i)^(4k+2)+1/(x-2i)^(4k+2)} + {1/(x+3i)^(4k+2)+1/(x-3i)^(4k+2)} + …… ]
これを x=1,2,3,…… で無限和をとるわけですが、k≧1 の場合は 4k+2≧6 なので絶対収束
し、中カッコ同士で和の順番を自由に交換できます。
しかも、{1/(m+ni)^(4k+2)+1/(m-ni)^(4k+2)} と {1/(n+mi)^(4k+2)+1/(n-mi)^(4k+2)} を比較す
ると、後者の第1項は前者第2項の (1/i)^(4k+2)=-1 倍で、後者の第2項は前者第1項の
(-1/i)^(4k+2)=-1 倍なので、これらは和を取ると0です。
つまり、結局中カッコのものは全て打ち消しあう（m≠nのもの)、もしくは自身が 0 である
（m=nのもの）ということになります。
結局残るのは -(4k+1)! * 1/x^(4k+2) 部分から生じる項だけになり、その総和は、
-(4k-1)! * { 1 + 1/2^(4k+2) + 1/3^(4k+2) + …… }
= -(4k+1)! * ζ(4k+2)
= -(4k+1)! * (-1)^(2k+2)*(2π)^(4k+2)/(2(4k+2)!)*B(4k+2)
= -(2π)^(4k+2)/(8k+4)*B(4k+2)
ということで、
-(2π)^(4k+2) { 1/(e^(2π)-1) + 2^(4k+1)/(e^(4π)-1) + 3^(4k+1)/(e^(6π)-1) + …… }
= -(2π)^(4k+2)/(8k+4)*B(4k+2)
という等式ができ、両辺 -(2π)^(4k+2) で割れば、
1/(e^(2π)-1) + 2^(4k+1)/(e^(4π)-1) + 3^(4k+1)/(e^(6π)-1) + …… = 1/(8k+4)*B(4k+2)
が k=1,2,3,…… で成り立ちます。
具体的には、
1/(e^(2π)-1) + 2^5/(e^(4π)-1) + 3^5/(e^(6π)-1) + …… = 1/12*B(6) = 1/504
1/(e^(2π)-1) + 2^9/(e^(4π)-1) + 3^9/(e^(6π)-1) + …… = 1/20*B(10) = 1/264
1/(e^(2π)-1) + 2^13/(e^(4π)-1) + 3^13/(e^(6π)-1) + …… = 1/28*B(14) = 1/24
など。ただし、k=0 については、wolfram 先生によれば、
1/(e^(2π)-1) + 2/(e^(4π)-1) + 3/(e^(6π)-1) + …… = (π-3)/(24π)
らしく、1/4*B(2) = 1/24 よりも 1/(8π) だけ小さいようです。
4k+2=2 では二重の級数が絶対収束しないせいで和の順番を入れ替えることができない影
響をもろに受けてるようですね。この 1/(8π) がどこから導かれるかは今のところ謎。
k≧1 では GAI さんの式と分母が全く同じなので、GAI さんのも似たような手段で導出でき
ると思うんですけどねえ……。
DD++さんからのコメントです。（平成２９年６月２１日付け）
Σ[m=1...∞] m^(4k+1)/(e^(2mπ)-1) = 1/(8k+4)*B(4k+2)
をちょっと一般化することに成功しました。
Σ[m=1...∞] { s^(2k+1)*m^(4k+1)/(e^(2mπ*s)-1) + t^(2k+1)*m^(4k+1)/(e^(2mπ*t)-1) }
= {s^(2k+1)+t^(2k+1)}/(8k+4)*B(4k+2)
k は自然数として、st=1 を満たす任意の正実数の組 s,t に対してこれが成立するようです。
この式で s=t=1 として両辺を2で割ると上の式になります。
互いに逆数になるものをそれぞれ 2k+1 乗する部分はともかく、指数につっこんで
(e^(2mπ))^s と (e^(2mπ))^(1/s) みたいになっているのが非常に気持ち悪い……。
なんにせよ、e^π とベルヌーイ数との関係は思った以上に深いようです。
ＧＡＩさんからのコメントです。（平成２９年６月２２日付け）
面白い関係式が成り立つんですね。全く関係ないでしょうが、式中のm^(4k+1)の性質とし
て、mの最下位とm^(4k+1)の最下位は必ず一致しますね。
e、π、ベルヌーイ数、素数分布にはホントに魔訶不可思議な関係がいろいろ隠れている
のですね。
この頃、e^πに関わる不思議な等式に、
f(q)=1+2*q+2*q^4+2*q^9+2*q^16+2*q^25+(以下2*q^(n^2)のものが無限に続く）
に対し（ヤコビのtheta function）、q=1/e^π に対するf(q)の値が
π^(1/4)/Γ(3/4) ここで、Γ(z)はガンマ関数
というまた何とも言えぬ不思議さに出会いました。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年６月１４日付け）
Σ[k=1...∞] k^5/(e^(2kπ)-1)=1/504
Σ[k=1...∞] k^9/(e^(2kπ)-1)=1/264
Σ[k=1...∞] k^13/(e^(2kπ)-1)=1/24
Σ[k=1...∞] k^17/(e^(2kπ)-1)=43867/28728
Σ[k=1...∞] k^21/(e^(2kπ)-1)=77683/552
Σ[k=1...∞] k^25/(e^(2kπ)-1)=657931/24
Σ[k=1...∞] k^29/(e^(2kπ)-1)=1723168255201/171864
････････････････････････････
のようですね。これもベルヌーイ数と正しく関連性がありますね。
DD++さんからのコメントです。（平成２９年６月１５日付け）
ふと、「x に代入する値に +(1/2)i つけておけば分母が +1 になってくれるんじゃないか？」
と思ったので実行してみた結果。
4k+1 回微分した後で、x=(1/2)+(1/2)i,(3/2)+(1/2)i,(5/2)+(1/2)i,…… で和を取ります。
（虚部が半整数の場合は実部も半整数じゃないと打ち消しが起こらないため）
左辺は 4k+1 回微分で、
-(2π)^(4k+2) { e^(-2πx) + 2^(4k+1)*e^(-4πx) + 3^(4k+1)*e^(-6πx) + …… }
となっているので、和を取ると、
-(2π)^(4k+2) { - e^(-π)/(1-e^(-2π)) + 2^(4k+1)*e^(-2π)/(1-e^(-4π)) - 3^(4k+1)*e^(-3π)/(1-e^(-6π)) + …… }
= -(2π)^(4k+2) { - e^(π)/(e^(2π)-1) + 2^(4k+1)*e^(2π)/(e^(4π)-1) - 3^(4k+1)*e^(3π)/(e^(6π)-1) + …… }
一方、右辺は、k≧1 のときは 4k+2≧6 で中カッコを外しても絶対収束するので、全部消え
て 0
よって、
-(2π)^(4k+2) { - e^(π)/(e^(2π)-1) + 2^(4k+1)*e^(2π)/(e^(4π)-1) - 3^(4k+1)*e^(3π)/(e^(6π)-1) + …… } = 0
から、
- e^(π)/(e^(2π)-1) + 2^(4k+1)*e^(2π)/(e^(4π)-1) - 3^(4k+1)*e^(3π)/(e^(6π)-1) + …… = 0
という式が得られました。
新しい結果ですが、欲しいのはこれじゃない、というかまず分母を +1 にしようという計画す
ら成功してない……。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年６月１５日付け）
k≧1 では GAI さんの式と分母が全く同じなので、GAI さんのも似たような手段で導出でき
ると思うんですけどねえ……。
F(k,n)=(2*n-1)^(4*k+1)/(exp((2*n-1)*Pi)-1)+(2*n)^(4*k+1)/(exp(2*n*Pi)-1)-(2*n)^(4*k+1)/(exp(2*n*Pi)+1)
G(k)=(2^(4*k+1)+1)/(8*k+4)*B(4*k+2)
の２つが、Σ[n=1,∞]F(k,n)=G(k) (k=1,2,3,･･･) の関係が示せれば、私がアップしていた関
係式とDD++さんが示された関係式がつながりますね。一応計算上では繋がりました。
DD++さんからのコメントです。（平成２９年６月１６日付け）
GAI さんの式、k≧1 の場合についてはようやく証明できました。k=0 の場合、つまり分子
が 1 乗の場合については別に考えないといけなさそうですが。
coth(πx) の無限乗積展開から出発します、としたいところですが、途中の計算をしやすく
する都合で、coth(πx/2) = cosh(πx/2)/sinh(πx/2) の無限乗積展開から出発します。
coth(πx/2) = 2/πx * (1+x^2) / (1+x^2/4) * (1+x^2/9) / (1+x^2/16) * ……
両辺を対数微分して変形します。その際 x は正の実数であることを仮定します。
左辺は、
= tanh(πx/2) / (-sinh(πx/2))^2 * (π/2)
= -π / ( 2 * cosh(πx/2) * sinh(πx/2) )
= -π / sinh(πx)
= -2π / ( e^(πx) - e^(-πx) )
= -2πe^(-πx) / ( 1 - e^(-2πx) )
= -2π ( e^(-πx) + e^(-3πx) + e^(-5πx) + …… )
右辺は、
- 1/x + 2x/(x^2+1) - 2x/(x^2+4) + 2x/(x^2+9) - 2x/(x^2+16) - ……
= - 1/x + { 1/(x+i) + 1/(x-i) } - { 1/(x+2i) + 1/(x-2i) }
+ { 1/(x+3i) + 1/(x-3i) } - { 1/(x+4i) + 1/(x-4i) } + ……
さらに 4k+1 回微分します。
左辺は、
-2π ( (-π)^(4k+1)*e^(-πx) + (-3π)^(4k+1)*e^(-3πx) + (-5π)^(4k+1)*e^(-5πx) + …… )
= 2π^(4k+2) * ( e^(-πx) + 3^(4k+1)*e^(-3πx) + 5^(4k+1)*e^(-5πx) + …… )
右辺は、
-(-1)^(4k+1) * (4k+1)! * [ 1/x^(4k+2) - { 1/(x+i)^(4k+2) + 1/(x-i)^(4k+2) }
+ { 1/(x+2i)^(4k+2) + 1/(x-2i)^(4k+2) } - { 1/(x+3i)^(4k+2) + 1/(x-3i)^(4k+2) }
+ { 1/(x+4i)^(4k+2) + 1/(x-4i)^(4k+2) } - …… ]
= (4k+1)! * [ 1/x^(4k+2) - { 1/(x+i)^(4k+2) + 1/(x-i)^(4k+2) }
+ { 1/(x+2i)^(4k+2) + 1/(x-2i)^(4k+2) } - { 1/(x+3i)^(4k+2) + 1/(x-3i)^(4k+2) }
+ { 1/(x+4i)^(4k+2) + 1/(x-4i)^(4k+2) } + …… ]
これに、-(-1)^x をかけて、x=1,2,3,4,…… を代入して無限和を取ります。
左辺は、
2π^(4k+2) * ( -(-e^(-π))^x - 3^(4k+1)*(-e^(-3π))^x - 5^(4k+1)*(-e^(-5π))^x - …… )
を Σ[x=1...∞] で和を取ると絶対収束するので各項ごと無限等比級数で計算すればよく、総
和は、
2π^(4k+2) * ( e^(-π)/(1+e^(-π)) + 3^(4k+1)*e^(-3π)/(1+e^(-3π))
+ 5^(4k+1)*e^(-5π)/(1+e^(-5π)) + …… )
= 2π^(4k+2) * ( 1/(e^π+1)) + 3^(4k+1)*/(e^(3π)+1) + 5^(4k+1)/(e^(5π)+1) + …… )
右辺は、4k+2≧6 なので { } を外しても [ ] の中が絶対収束するので順番を変えてもいいわ
けですが、こういう和になります。
Σ[m=1...∞] Σ[n=-∞...∞] (-1)^(m+n)/(m+ni)^(4k+2)
つまり、m を自然数、n を整数として、 m+ni の -(4k+2) 乗を、
m と n の偶奇が一致すれば + を、偶奇が異なれば - をつけて合計しろ
と。ところが、i^(4k+2)=-1 なので、1/(m+ni)^(4k+2) と 1/(n-mi)^(4k+2) はちょうど符号を変え
た数になります。
つまり、n＞0 のものと n＜0 のものがペアになって1つ残らず消え去り、残った n=0 の和だ
け考えればいいことになります。
つまり、その和は、
(4k+1)! * [ 1/1^(4k+2) - 1/2^(4k+2) + 1/3^(4k+2) - 1/4^(4k+2) + …… ]
= (4k+1)! * [ { 1/1^(4k+2) + 1/2^(4k+2) + 1/3^(4k+2) + 1/4^(4k+2) + …… }
- 2*{ 1/2^(4k+2) + 1/4^(4k+2) + 1/6^(4k+2) + 1/8^(4k+2) + …… } ]
= (4k+1)! * [ { 1/1^(4k+2) + 1/2^(4k+2) + 1/3^(4k+2) + 1/4^(4k+2) + …… }
- 1/2^(4k+1)*{ 1/1^(4k+2) + 1/2^(4k+2) + 1/3^(4k+2) + 1/4^(4k+2) + …… } ]
= (4k+1)! * (1-1/2^(4k+1)) * ζ(4k+2)
= (4k+1)! * (1-1/2^(4k+1)) * (2π)^(4k+2) / (2(4k+2)!) * B(4k+2)
= (2^(4k+1)-1) * π^(4k+2) / (4k+2) * B(4k+2)
よって、
2π^(4k+2) * ( 1/(e^π+1)) + 3^(4k+1)*/(e^(3π)+1) + 5^(4k+1)/(e^(5π)+1) + …… )
= (2^(4k+1)-1) * π^(4k+2) / (4k+2) * B(4k+2)
となるので、両辺 2π^(4k+2) で割って、
1/(e^π+1)) + 3^(4k+1)*/(e^(3π)+1) + 5^(4k+1)/(e^(5π)+1) + ……
= (2^(4k+1)-1) / (8k+4) * B(4k+2)
以上で、k=1,2,3,…… の場合については示されました。
k=0 についてはこれじゃダメなので、個別に何か方法があるのでしょう。というか、そもそも
k=0 も k≧1 と統一した式で表せるのはただの偶然なような感触。他の式だと k=0 は全然違
う値になっているものばかりですし。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年６月１７日付け）
coth(πx/2) = 2/πx * (1+x^2) / (1+x^2/4) * (1+x^2/9) / (1+x^2/16) * ……
この等式を発見するだけでも大変ですね。
「右辺は 4k+2≧6 なので〜残った n=0 の和だけ考えればいいことになります。」
ここに秘密があったのか！
眼も眩む証明にびっくりです。証明を少しずつ追いかけてもらっていますが、よくもこんな
長い道のりを歩いてこれますね。日頃有限の世界だけでもうろうろしているのに、無限の世
界はまったく歯が立ちません。長年の謎が解けている感覚です。長期に渡るアタックに感謝
です。
DD++さんからのコメントです。（平成２９年６月１７日付け）
Σ[m=1...∞] (-1)^m*m^(6k+1)/(e^(mπ
)+1)Σ[m=1...∞] (-1)^m*m^(6k+3)/(e^(mπ
)+1)あたりもベルヌーイ数絡みの有理数に収束しそうですが、wolfram先生に聞くと5桁目くらい
から若干ずれるのは、wolfram先生の計算アルゴリズムの都合でズレているのか、私が何
かミスっているのか……。
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年６月１８日付け）
ちょっと計算した感じでは、あまり有理数っぽくないように見えます。
Σ[m=1...∞] (-1)^m*m^(6k+1)/(e^(mπ
)+1) は、k=1のとき -0.00208342360746569919982259837…
k=2のとき 0.0416608891057660229098116116…
k=3のとき -13.2284758917978696119926092…
k=4のとき 27413.7677218312082330662161…
DD++さんからのコメントです。（平成２９年６月１８日付け）
んー、じゃあ私が何かミスってますね。
k=1 のとき -1/480 = -0.00208333……
k=2 のとき 1/24 = 0.04166666……
k=3 のとき -174611/13200 = -13.22810606……
k=4 のとき 657931/24 = 27413.791666……
かと思ったのですが。でも、値そのものは近いので、たぶんしょうもないミスなんだろうなあ。
再確認してみます。
DD++さんからのコメントです。（平成２９年６月１８日付け）
m が偶数のときは分母は +1 じゃなく -1 でした。
Σ[m=1...∞] (-1)^m*m^(6k+1)/(e^(mπ
)-(-1)^m)Σ[m=1...∞] (-1)^m*m^(6k+3)/(e^(mπ
)-(-1)^m)これで今度こそ有理数になるはず。
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年６月１８日付け）
特に意味はないですが、2箇所にある(-1)^mをまとめると、
Σ[m=1...∞] m^(6k+1)/((-1)^m*e^(mπ
)-1)Σ[m=1...∞] m^(6k+3)/((-1)^m*e^(mπ
)-1)さらに、^mをまとめて、
Σ[m=1...∞] m^(6k+1)/((-e^(π
))^m-1)Σ[m=1...∞] m^(6k+3)/((-e^(π
))^m-1)のようにも書けますね。
DD++さんからのコメントです。（平成２９年６月１８日付け）
「特に意味はないですが」とのことですが、実は意味あります。
e^(-mπ(
+i))/(1-e^(-mπ(+i)))という形を変形するときに私はミスったわけですが、ここで虚数を処理しようとか考えずに、
=1/(e^(-mπ(
+i))-1)とやっておけばよかった、という意味で……。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年６月１８日付け）
Σ[m=1...∞] m^(6k+1)/((-e^(π√3))^m-1)
では、k=1 なら -1/480、k=2 なら 1/24、k=3 なら -174611/13200、k=4 なら 657931/24
でいいんですかね？もしこれなら、これらはベルヌーイ数B(n)とどのような関係をなしている
のでしょうか？
無理に合わせていたら
k=1:17/57872*B(16)
k=2:133/175468*B(18)
k=3:1/40*B(20)
k=4:15132413/3418052*B(22)
･･･････････
でも、これでは規則的なものにならないようなので･･･
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年６月１８日付け）
k=1:B(8)/16 、k=2:B(14)/28 、k=3:B(20)/40 、k=4:B(26)/52
一般に、 B(6k+2)/(12k+4) だと思います。
同様に、Σ[m=1...∞] m^(6k+3)/((-e^(π
))^m-1) の方は、k=1:B(10)/20 、k=2:B(16)/32 、k=3:B(22)/44 、k=4:B(28)/56
一般に、 B(6k+4)/(12k+8) ですね。
DD++さんからのコメントです。（平成２９年６月１８日付け）
ヒント。今まで出してきた式の、分子の次数とベルヌーイ数のnの値の関係は？
追記：あ、1分未満の差で……
DD++さんからのコメントです。（平成２９年６月１９日付け）
なんとびっくり。
Σ[m=1...∞] m^(6k+1)/((-e^(π/
))^m-1)Σ[m=1...∞] m^(6k+3)/((-e^(π/
))^m-1)も有理数収束っぽいですよ。（わかりにくいですが、π
が π/ に変わっています）らすかるさんからのコメントです。（平成２９年６月１９日付け）
しかも、π
のときと同じ値に収束！？