プのそれぞれの和が等しくできるようなｎはどんなときでしょう？また、それはどこで分けた
ときか。
ｋｓさんからのコメントです。（平成２９年５月２３日付け）
１＋・・・＋Ａ＝(Ａ＋１)＋・・・＋Ｂ とすると、
Ａ＝((２＋
)(３＋２)ｎ＋(２－)(３－２)ｎ－４)÷８Ｂ＝（(√８Ａ2＋８Ａ＋１)－１）÷２
で、無限に答えがあることを、らすかるさんに教わりました。でも、どうやって導くのかわかり
ません。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年５月２４日付け）
これって、もの凄い式ですね。この式を利用して計算機で確かめたら、他のプログラムで
出していた結果とピタリ（.9999999999998･･･なる数字では出るがこれはあくまで計算機が近
似でしかやっていないため）一致してきます。
これに倣い、1から始まる公差 2、3、4、5、･･･ の等差数列で同じようなことが起こせないか
探していましたが、公差3で、
1+4+7+10+13=16+19
は条件を満たしますが、その他をいくら探してもヒットしませんでした。
（探し方が足らないのか、ホントに存在できないのかは不明です。）
らすかるさんとお知り合いなら、そっと聞いておいて下さいませんか？
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年５月２４日付け）
公差2は、Σ(2k-1)=n2 なので、n2=2m2 を解くことになり、解なし
公差4は、Σ(4k-3)=n(2n-1) なので、n(2n-1)=2m(2m-1) を解くことになり、解なし
公差5は、Σ(5k-4)=n(5n-3)/2 なので、n(5n-3)=2m(5m-3) を解くことになり、例えば、
(m,n)=(1987533,2810796)
という解があり、すなわち、
1+6+11+16+…+9937661=9937666+9937671+9937676+…+14053976
DD++さんからのコメントです。（平成２９年５月２４日付け）
依然、GAI さんが出題したものの 1/2 ってことですよね。ｎ と ｎ＋１ で１つズレますけど。
らすかるさんに聞くまでもなく、何を解けばいいのか解説されています…。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年５月２５日付け）
最初何のことやら分からなかったのですが、2014年頃の話題について、ノートのメモを見な
がら思い出していくと、らすかるさんが公差５で見つけられた時の関係式を導くことでの式
n*(5*n-3)=2*m*(5*m-3) は、 x=10*n-3 、y=10*m-3 ･･･(*) で変換すれば、
x2-2*y2=-9 ･･･(**)
なるペル方程式擬きになるのですね。そう言えば、これの一般的解法について、DD++さんの
強力な協力を得て探していました。復習すると、
正調ペル方程式：x2-2*y2=1 の基本解(x0,y0)=(3,2)を利用して、
0<y≦y0*sqrt(|-9|/(2*(x0-1)) すなわち、 0<y≦2*sqrt(9/(3-1))=3
で y を絞り込むと、 y=1、2、3
y=1 → (**)から、x^2=-7(不適）
y=2 → 同じく不適
y=3 → x=3(x=-3は適さない）
そこで、P=(3,3)を②の基本解として行列M=｛[x0 t], [y0 x0]｝ （ただし、t=(x0^2-1)/y0）
すなわち、M=｛[3 4], [2 3]｝を使って、M^n*P~ (n=1,2,3,･･･) から(**)での一般解を探してい
く。ただし(*)から、n=x/10+3/10;m=y/10+3/10 の値を自然数とするものだけを拾い集める
ことになる。
これをプログラムして走らせると、
M^n;(n;m)
3;[72; 51]
9;[2810796; 1987533]
15;[110188812960; 77915256855]
21;[4319621842835364; 3054433897230417]
27;[169337815372643114808; 119739917561311538619]
33;[6638381033918733543856092; 4694044245184101039699861]
39;[260237813122344377013603392016; 184015922379967211397002400543]
45;[10201842743383763233768546629943380; 7213792184445430376001187066375065]
･･･････････････････
がぞろぞろと出てきました。１段目からは、 1+6+11+･･･+251=256+261+･･･+356 なる関係
式が生まれる。らすかるさんは２段目の例を示されていたんですね。
ここにこんな問題と通じていたことなんて、思ってもいませんでした。実は、公差2、3、4での
探索でかなりの時間を費やしていたので（しかも収穫ゼロ）、公差5まではやる気がでません
でした。しかし、DD++さんは、よくも３年前の記憶と結びつけたものですね。ビックリします。
DD++さんからのコメントです。（平成２９年５月２５日付け）
かなり印象的な問題だったのと、以前落穂拾いしたときに一般的には未解決だよなあと少
し考えていたもので。
ｋｓさんからのコメントです。（平成２９年５月２４日付け）
発展的に、差を変化させたついでに、スタートの数を任意にした場合、
Ｎ＋・・・＋(５Ｎ－３)＝(５Ｎ－２)＋・・・＋(７Ｎ－４)
があります。他にもあるかもしれません。また、連続した数を等しく３つに分けることはできな
いようです。
DD++さんからのコメントです。（平成２９年５月２５日付け）
連続した整数どころか、有理数からなる公差が0でない任意の有限等差数列で三等分でき
なさそうな気がします。が、証明しようとすると意外と難しい……。どうにか示せないものでしょ
うか。あるいは反例はあるでしょうか。
