例えば、
４７１は、３の倍数。
４７２は、その一部７２が、３の倍数。
４７３は、その一部３が３の倍数。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
このように見てくると、３桁の数は、必ず自分自身か、その連続する一部が３の倍数にな
るという性質を持っていそうである。
この性質は、鳩ノ巣原理を用いて、容易に示すことができる。
３桁の数を、ａｂｃ とする。このとき、ａｂｃ が３の倍数ならば、何も問題はない。
連続する一部として、次の３個の数 ｃ、ｂｃ、ａｂｃ を考える。この中に、３の倍数があれば、
何も問題はない。
これら相異なる３個の数が、３の倍数でないとすると、３で割った余りは、１または２であ
る。よって、鳩ノ巣原理により、どれか２つの数の余りは等しい。
この２つの数の差をとり、１０のべきで割り算することによって得られる連続する一部は、
１０と３が互いに素なので、３の倍数となる。
このことは、一般的にも成立する。
定理 任意の ｐ 桁の数は、自分自身か、その連続する一部が ｐ の倍数になる。
ただし、ｐ と１０は互いに素とする。
今まで、全然気にせず素通りしてきたことに、光があてられたような気分である。
（参考文献：中村義作 著 数学パズル ２０の解法 （講談社））
ＨＮ「鼈甲」さんからのコメントです。（平成２４年８月１３日付け）
上記の定理に関して思ったのですが、ｐ は、自然数？素数？どういう数ならいいのですか
ね。
例えば、11111は、どこをとっても５の倍数ではありませんし(5は素数)、例えば、９桁の数
については、常に命題は成り立ちます(９は合成数)。
結局、ｐ は、「素因数に２も５も持たない数」であることが必要十分と思うのですが、どうで
しょう。
それから、12345678901(11桁)の中に11の倍数は0しかありません。だから、0も倍数に認
める必要がありますね。
（コメント） ２００３年９月５日に投稿されたもので、ほぼ９年ぶりの見直しです！
確かに、ＨＮ「鼈甲」さんの反例からも分かるように、上記の定理は一般に成り立つという
のは語弊がありそうですね。証明の問題点をもう一度整理したいと思います。
ｐ桁の数を、ａｂｃ・・・ｄｅｆ とする。このとき、ａｂｃ・・・ｄｅｆ がｐの倍数ならば、何も問題は
ない。連続する一部として、次のｐ個の数 ｆ、ｅｆ、・・・、ａｂｃ・・・ｄｅｆ を考える。
この中に、ｐの倍数があれば、何も問題はない。これら相異なるｐ個の数が、ｐの倍数で
ないとすると、ｐで割った余りは、１、２、・・・、ｐ−１の何れかである。
よって、鳩ノ巣原理により、どれか２つの数の余りは等しい。
この２つの数の差をとり、１０のべきで割り算することによって得られる連続する一部が、
ｐ の倍数となるためには、１０とｐが互いに素であることが必要十分である。
（コメント） 定理の不備をご指摘いただいたＨＮ「鼈甲」さんに感謝します。上記の定理は修
正済みのものです。
