以下の内容は、他サイトで見つけたものを参考に挙げました。事前に、このサイト内で確
かめましたが、被った箇所はないはず。

　２次方程式 ax²＋bx＋c=0　(a≠0)　の２つの解をα、βとして、

　L[1]=α＋β　、L[2]=α−β　　（※Lはラグランジュの頭文字）

とおく。以下は、　L[1]=β＋α　、L[2]=β−α　としても、同様にできる。

　解と係数との関係より、　α＋β=-b/a　、αβ=c/a　から、L[1]=-b/a

　L[2]の方は、そのままでは計算できないので、２乗する。

　L[2]²=(α−β)²=(β−α)²=(α＋β)²−4αβ=(-b/a)²−4(c/a)=(b²-4ac)/a²

　平方に開いて、　L[2]=√(b²-4ac)/|a|　、-√(b²-4ac)/|a|

　ここで、|a|は、a≧0のとき、|a|=a　で、a＜0のとき、|a|=-a　であり、

　　L[2]={√(b²-4ac)}/±a、-{√(b²-4ac)}/±a

であるが、どちらの場合も　L[2]=√(b²-4ac)/a、-√(b²-4ac)/a　が得られる。

　ここで、L[1]＋L[2]　および、L[1]−L[2]　より、

(α，β)=({-b/a＋√(b²-4ac)}/a}/2，{-b/a−√(b²-4ac)}/a}/2)　、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　({-b/a−√(b²-4ac)}/a}/2，{-b/a＋√(b²-4ac)}/a}/2)

　α、βは、x の２次方程式の２つの解なので、どちらの場合でも

　x={-b±(√(b²-4ac)}/2a


（コメント）　解の公式の証明は、「解の公式を鮮やかに導く方法」が一番のお気に入りです。