{1,2,2,3,3,4}と{1,3,4,5,6,8}の目を使うことが可能となる。
そこで、今度は正八面体のサイコロ{1,2,3,4,5,6,7,8}の目2個の目の確率分布と同等の分布
を起こす異なる目のサイコロの組合せは何か？
ただし、同じ目が重複していても良いものとする。
Seiichi Manyamaさんからのコメントです。（平成２８年４月３０日付け）
中学生のとき先生が出していたのを思い出します。初歩の組み合わせ論の知識と因数分
解ができれば、解けると思います。
（答え） 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9 と 1, 2, 2, 3, 5, 6, 6, 7
1, 2, 5, 5, 6, 6, 9, 10 と 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6
1, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 11 と 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5
でしょうか？
（コメント） ＧＡＩさんの前半部分を確認しておきたいと思います。
通常のサイコロの目の和の出方は、
２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２
の１１通りあり、それらの確率は、順次
１/３６、２/３６、３/３６、４/３６、５/３６、６/３６、５/３６、４/３６、３/３６、２/３６、１/３６
{1,2,2,3,3,4}と{1,3,4,5,6,8}の目のさいころを使うときの目の和の出方は、
２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２
の１１通りあり、それらの確率は、順次
１/３６、２/３６、３/３６、４/３６、５/３６、６/３６、５/３６、４/３６、３/３６、２/３６、１/３６
で、両者の確率分布は一致する。
しかも、このように一致する確率分布を持つものは、{1,2,2,3,3,4}と{1,3,4,5,6,8}の目のさいこ
ろに限ることが次のように示される。
題意より、{1,2,3,4,5,6}の目の和と同じ確率分布を持つサイコロとして、
{1,*,*,*,*,a} と {1,*,*,*,*,b}
とおくと、ａ＋ｂ＝１２から、（ａ，ｂ）＝（１０，２）、（９，３）、（８，４）、（７，５）の場合が考えられ
る。目の和が１、１２となるのは１通りしかないので、２≦*≦最大数−１ である。
このことから、（ａ，ｂ）＝（１０，２）の場合は明らかに起こりえない。
（ａ，ｂ）＝（９，３）の場合は、{1,*,*,*,*,b}＝{1,2,2,2,2,3} で、和＝３となる場合が４通り以上あり
矛盾するので、起こりえない。
（ａ，ｂ）＝（８，４）の場合は、{1,*,*,*,*,4} で、２≦*≦3 である。この場合の可否は不明。
（ａ，ｂ）＝（７，５）の場合は、{1,*,*,*,*,5} で、２≦*≦４ である。この場合の可否は不明。
上記の２つの場合の可否が不明なので、別途の方策が必要となる。
（→ 参考：「目の和」）
２つのサイコロの目の和ｋは、母関数 (ｘ+ｘ2+ｘ3+ｘ4+ｘ5+ｘ6)2 の展開式のｘkの係数で考
察されることから、この通常のサイコロと同等な役割を演じる２つのサイコロの有り様を考
察する。（通常の１〜６の目を逸脱する。）
母関数は、(ｘ+ｘ2+ｘ3+ｘ4+ｘ5+ｘ6)2=ｘ2(ｘ+1)2(ｘ2-ｘ+1)2(ｘ2+ｘ+1)2 と因数分解されること
から、ここに出現する因数に着目し、これを２グループ[P|Q]に分けること（ただし、ｘはどちら
も１個含む）を考えればよい。
題意より、 (ｘ+ｘ2+ｘ3+ｘ4+ｘ5+ｘ6)2=ｘ(ｘ+1)(ｘ2+ｘ+1)(ｘ2-ｘ+1)2・ｘ(ｘ+1)(ｘ2+ｘ+1) と因数分
解されることが必要である。すなわち、
(ｘ+ｘ2+ｘ3+ｘ4+ｘ5+ｘ6)2=(ｘ+ｘ3+ｘ4+ｘ5+ｘ6+ｘ8)(ｘ+2ｘ2+2ｘ3+ｘ4)
このことから、求めるサイコロは、{1,3,4,5,6,8}と{1,2,2,3,3,4} となる。
Seiichi Manyamaさんの３つの解も母関数
(ｘ+ｘ2+ｘ3+ｘ4+ｘ5+ｘ6+ｘ7+ｘ8)2=ｘ2(ｘ+1)2(ｘ2+1)2(ｘ4+1)2
の因数分解と因数の組み合わせを利用したものであろう。
因みに、正４面体のサイコロ{1,2,3,4}が２個の場合は、確率分布が同じになる場合は、１通
りあり、{1,3,3,5}と{1,2,2,3} がその解となる。
正１２面体のサイコロ{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}が２個の場合は、確率分布が同じになる場
合は、７通りあることが知られている。
