・　すばらしい解　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｓ．Ｈ氏

　以下で、Ｘ、Ｙ、Ｚ は、０ 以外の整数とする。このとき、

　　　　　　　方程式　Ｘ²＋Ｙ²＋Ｚ²＝１

は、明らかに解を持たない。ところが、

　　　　　　　方程式　Ｘ³＋Ｙ³＋Ｚ³＝１　

は、無限の解を持つ。

　例えば、Ｘ＝９ｎ⁴、Ｙ＝１−９ｎ³、Ｚ＝３ｎ−９ｎ⁴ （ ｎ は整数）が一般解である。

実際に、Ｘ³＋Ｙ³＋Ｚ³＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７２９ｎ¹²
　　　　　　　　　　　　　　　＋１−２７ｎ³＋２４３ｎ⁶−７２９ｎ⁹
　　　　　　　　　　　　　　　 　　＋２７ｎ³−２４３ｎ⁶＋７２９ｎ⁹−７２９ｎ¹²
　　　　　　　　　　　　　＝１

　このような解が、どのようにして発見されたのか、また、解の形として、上記以外の解はな
いのかどうか、とても興味がある。

（参考文献：シェルピンスキー　著　熊谷孝康　訳　集合と位相　（東京図書））


　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「凡人」さんからのコメントです。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２６年４月１０日付け）

　Ｘ³＋Ｙ³＋Ｚ³＝１ の一般解として、(Ｘ，Ｙ，Ｚ)=(９ｎ^4，１−９ｎ³，３ｎ−９ｎ⁴)が挙げられていま
すが、もっとも単純な(ｎ，−ｎ，１)の形が表せていません。ピタゴラス数のように、おそらく２
文字必要ではないかと予想します。


（コメント）　解(９ｎ⁴，１−９ｎ³，３ｎ−９ｎ⁴)の不思議さに感動のあまり、自明な解(ｎ，−ｎ，１)、
　　　　　　(ｎ，１，−ｎ)、・・・をすっかり忘れていました！凡人さんに感謝します。


　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「空舟」さんからのコメントです。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２６年４月１０日付け）

　（微妙に形が違いますが、）「A Collection of Algebraic Identities」には、x³+y³+z³+t³=0 の
一般解としていくつか紹介されていて興味深いです。

　全ての解を表すことについては言及されていませんが、私の印象では全ての解を表すの
は困難そうに思います。


（コメント）　空舟さんが紹介されたサイトに、解(９ｎ⁴，１−９ｎ³，３ｎ−９ｎ⁴)の誕生秘話が記
　　　　　　述されていましたね！何かスッキリした気分です。空舟さんに感謝します。