・ すばらしい解                   S.H氏

 以下で、X、Y、Z は、0 以外の整数とする。このとき、

       方程式 2+Y2+Z2=1

は、明らかに解を持たない。ところが、

       方程式 3+Y3+Z3=1 

は、無限の解を持つ。

 例えば、X=9n4、Y=1−9n3、Z=3n−9n4 ( n は整数)が一般解である。

実際に、X3+Y3+Z3=                     729n12
               +1−27n3+243n6−729n9
                  +27n3−243n6+729n9−729n12
             =1

 このような解が、どのようにして発見されたのか、また、解の形として、上記以外の解はな
いのかどうか、とても興味がある。

(参考文献:シェルピンスキー 著 熊谷孝康 訳 集合と位相 (東京図書))


 当HPがいつもお世話になっているHN「凡人」さんからのコメントです。
                                       (平成26年4月10日付け)

 X3+Y3+Z3=1 の一般解として、(X,Y,Z)=(9n4,1−9n3,3n−9n4)が挙げられていま
すが、もっとも単純な(n,−n,1)の形が表せていません。ピタゴラス数のように、おそらく2
文字必要ではないかと予想します。


(コメント) 解(9n4,1−9n3,3n−9n4)の不思議さに感動のあまり、自明な解(n,−n,1)、
      (n,1,−n)、・・・をすっかり忘れていました!凡人さんに感謝します。


 当HPがいつもお世話になっているHN「空舟」さんからのコメントです。
                                       (平成26年4月10日付け)

 (微妙に形が違いますが、)「A Collection of Algebraic Identities」には、x3+y3+z3+t3=0 の
一般解としていくつか紹介されていて興味深いです。

 全ての解を表すことについては言及されていませんが、私の印象では全ての解を表すの
は困難そうに思います。


(コメント) 空舟さんが紹介されたサイトに、解(9n4,1−9n3,3n−9n4)の誕生秘話が記
      述されていましたね!何かスッキリした気分です。空舟さんに感謝します。



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