ｐ、ｑを２以上の互いに素な自然数とする。（ｐ＜ｑとする。）このとき、どんな自然数ｎでも整
数a、bを用いて、ｎ＝ａｐ＋ｂｑ　の式で表せる。

　ところで、ａ、ｂの条件を非負の整数に制限すると、ある値のn以上のすべてのものしか、
ｎ＝ａｐ＋ｂｑ　では表せなくなる。このときのｎの最小値は何か？

　また、同様に、２以上の互いに素なｐ、ｑ、ｒの自然数に対して、（ｐ＜ｑ＜ｒとする。）ある値
以上のすべての自然数ｎが、ｎ＝ａｐ＋ｂｑ＋ｃｒ　（ａ、ｂ、ｃは非負の整数）　とできることにな
るｎの最小値は何か？

＃上記の前半は式で構成できると思うんですが、後半のものについては式が構成できるの
だろうか？


（コメント）　「３ａ＋５ｂ（ただし、ａ、ｂは非負整数）の形で表せない正の整数の最大値を求め
　　　　　　よ。」という問題が、当ＨＰの「線形結合の問題」でも話題になりましたね！


　なおさんからのコメントです。（平成２７年１１月１８日付け）

　この問題は、Frobeniusの硬貨交換問題として有名な問題ですね。ここに書かれているｎ−１
の値はFrobenius数と呼ばれています。３個以上の場合は専門家の間でも、現時点でも完全
には未解決だと思われます。
(３個の場合は特に詳しく研究されており、Morales-Denhamの定理と呼ばれる定理で、
Frobenius数の計算がかなり早くできる事が知られています。）

　この周辺の話題は１冊の本になってしまうくらいまとめられています。詳しくは、

　ベック・ロビンス著、岡本吉央訳　「離散堆積計算による組み合わせ数学入門」（丸善出版）

を見ると良いかもしれません(入門とありますが、内容としてはかなり難易度は高かったです)


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年１１月１８日付け）

　ヒントを参考にネットで探し回ったら、下記の式が存在することを見つけました。

P[a_,b_,c_,n_]:=n^2/(2a b c)+n/2(1/(a b)+1/(a c)+1/(b c))+1/12(3/a+3/b+3/c+a/(b c)+b/(a c)+c/(a b))
　　　　　　　　+1/a*Sum[1/((1-E^(k b(2Pi I/a)))(1-E^(k c(2Pi I/a)))(E^(k n(2 Pi I/a)))),{k,1,a-1}]
　　　　　　　　+1/b*Sum[1/((1-E^(k c(2Pi I/b)))(1-E^(k a(2Pi I/b)))(E^(k n(2 Pi I/b)))),{k,1,b-1}]
　　　　　　　　+1/c*Sum[1/((1-E^(k a(2Pi I/c)))(1-E^(k b(2Pi I/c)))(E^(k n(2 Pi I/c)))),{k,1,c-1}]
（ただし、Eは自然対数の底；Iは虚数単位）

　互いに素な２以上の自然数ａ、ｂ、ｃに対し、ａｐ＋ｂｑ＋ｃｒ＝ｎ　を満たす非負整数(ｐ，ｑ，ｒ)
が何組存在するかを計算できる。（→　計算結果）


　ａｔ さんからのコメントです。（平成２７年１１月１９日付け）

　ａｐ＋ｂｑ＋ｃｒ＝ｎ　を満たす非負整数(ｐ，ｑ，ｒ)の組の個数を F(a，b，c，n) とします。

F(a，b，c，n) を a、b、c、n を用いて表す方法には様々なものがあると思われます。例えば、

次のように表すことができます。

F(a,b,c,n)=floor(((n+1+a)(n+1+b)(n+1+c))^2n+2a+2b+2c/((((n+1+a)(n+1+b)(n+1+c))^2a-1
　　　　　(((n+1+a)(n+1+b)(n+1+c))^2b-1(((n+1+a)(n+1+b)(n+1+c))^2c-1)-((n+1+a)(n+1+b)(n+1+c))²*
　　　　　floor(((n+1+a)(n+1+b)(n+1+c))^{2n+2a+2b+2c-2}/((((n+1+a)(n+1+b)(n+1+c))^2a-1
　　　　　(((n+1+a)(n+1+b)(n+1+c))^2b-1(((n+1+a)(n+1+b)(n+1+c))^2c-1)))

　F(a,b,c,n)=[xⁿ](1/((1-x^a)(1-x^b)(1-x^c)))=[x⁰](1/((xⁿ)(1-x^a)(1-x^b)(1-x^c)))

　つまり、F(a,b,c,n)はローラン級数 1/((xⁿ)(1-x^a)(1-x^b)(1-x^c))　の定数項ですから、この定数
項だけをうまく取り出せばF(a,b,c,n)が求まります。


　Seiichi　Manyamaさんからのコメントです。（平成２７年１２月１７日付け）

　面白そうなので確かめようとしたのですが、「フロベニウス数：8」の部分は、5, 6, 7を使って
も表せない最大の数は8ということでしょうか？それならば、9も表せないと思うのですが、私が
何か勘違いしているのでしょうか？


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年１２月１８日付け）

　私のタイプミスでした！n=9の時点で計算量が1.11022*10^-16となってしまうので、このフロ
ベニウス数は9です。小さな字が見えに難くなっており、失礼いたしました。