２０１５個の小石を円形状に並べて、時計回りに、１〜２０１５の通し番号の紙を貼っておく。
今、２の番号の石から取り始め、以降時計回りに一つ飛ばしに石を取り除いて行く。
（２→４→６→８→･･･)

　一回りしたら、残っている石でやはり一つ飛ばしで石を取り除いていく。こうして、最後の一
つになる石の番号は何？（ヨセフス問題）

　次に、２０１５個の小石を直線状に並べる。（通し番号順）　２の番号の小石から取り始め、
以降一つ飛ばしに取っていく。２０１４番の小石までを取ると、２０１５番の小石が一つ残る。
そこで、これを一つ飛ばしの石とみて、ここを折り返し点と見て引き返し、２０１３番の石を取
り除くことにする。以下同様で、残った石で一つ飛ばしに取っていき、端まできたら折り返す
ことを続ける。

　このとき最後まで残る小石の番号は何？

　更に、上記２つの並べ方それぞれに対し、石を取る条件を一つ飛ばしから、二つ飛ばしに
変更したら（取り始めも３番の石からスタートする）、最後に残る石の番号はそれぞれいくつ
になる？


（コメント）　前半部分は、ヨセフスの問題の、Ｎ＝２０１５、Ｍ＝２ の場合である。

　番号１から時計回りに数えて最後に残る石が、Ａ（ｎ）番目とする。

　いま、番号１から時計回りに数え始め、２つ目の石をその位置から取り除いたとすると、
Ｎ−１個の石が円形に並んでいて、取り除かれた次の石（Ｐ）から時計回りに数え始め、
上記の操作を繰り返したとき、最後に残る石は、Ｐから時計回りに数えて、Ａ（Ｎ−１）番
目になる。

　したがって、漸化式　Ａ（ｎ）＝２＋Ａ（ｎ−１）　が成り立つ。もちろん、Ａ（１）＝１　である。

　このとき、最後に残る番号Ｋは、

　　　　　Ｋ＝Ｍｏｄ（Ａ（2015）−１，2015）＋１

　　　　　　ただし、Ａ（ｎ）＝２＋Ａ（ｎ−１）　（2≦ｎ≦2015）、Ａ（１）＝１

で与えられる。ただし、Ｍｏｄ（ａ，ｂ）は、ａ を ｂ で割った余りを表す。

　Ｅｘｃｅｌ さんにお世話になって、最後に残る石は最初の石から数えて１９８３番目の石であ
ることが分かる。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年９月１６日付け）

　一つ飛ばしの場合は、2015を２進法で表し、先頭の1を末尾に移動して、再び、10進法で読
み直せば求まります。即ち、

２０１５＝11111011111_(2）　から先頭の「1」を末尾に移動して、11110111111_(2）＝１９８３₍₁₀₎


（コメント）　Ｎ＝２＝10_(2）　のとき、残るのは、１＝01_(2）
　　　　　　　Ｎ＝３＝11_(2）　のとき、残るのは、３＝11_(2）
　　　　　　　Ｎ＝４＝100_(2）　のとき、残るのは、１＝01_(2）＝001_(2）
　　　　　　　Ｎ＝５＝101_(2）　のとき、残るのは、３＝11_(2）＝011_(2）
　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　う〜む、なるほど！２０１５個の数字を消していくのは大変なのでやろうとは思わないので
すが、このような便法があれば助かりますね。なお、「ヨセフスの問題」では、次の公式が取
り上げられています。

Ｎ＝ａ_ｎ２^ｎ＋ａ_ｎ-1２^ｎ-1＋・・・＋ａ₁２＋ａ₀　　（ａ_ｎ≠０）　のとき、

　最後に残るのは、　Ｆ（Ｎ）＝ｂ_ｎ２^ｎ＋ｂ_ｎ-1２^ｎ-1＋・・・＋ｂ₁２＋ｂ₀

　　　　　　　　　ただし、　ａ_ｋ＝１　のとき、　ｂ_ｋ＝１
　　　　　　　　　　　　　　　ａ_ｋ＝０　のとき、　ｂ_ｋ＝−１　（ｋ＝０、１、２、・・・、ｎ）

　この公式を用いると、

　Ｎ＝２０１５＝1・2¹⁰+1・2⁹+1・2⁸+1・2⁷+1・2⁶+0・2⁵+1・2⁴+1・2³+1・2²+1・2¹+1　なので、

Ｆ（Ｎ）＝1・2¹⁰+1・2⁹+1・2⁸+1・2⁷+1・2⁶+(-1)・2⁵+1・2⁴+1・2³+1・2²+1・2¹+1
　　　＝２０１５−３２＝１９８３

となる。


　　以下、工事中！