されている。ある都道府県で出題された公立高校の入試問題なのだが、中学数学屈指の難
問入試問題なんだそうだ！
円Oの周上に４点A、B、C、Dが半時計回りにこの順にあり、AD//BC、AD=6cm、
BC=18cm、AB=10cmである。線分ACとDBの交点をEとする。
このとき、円Oの半径を求めなさい。
Ｓ（Ｈ）さんによれば、{C,B}={{9, 1/2}, {-9, 1/2}} 、{D,A}={{3, 17/2}, {-3, 17/2} から、求める
半径 r=(5 Sqrt[13])/2 という。
「三平方の定理を使わないで解いて下さい。」「三角関数はありです。」といろいろ制約があ
るのだが、ちょっと興味があったので解いてみた。
（解） プトレマイオスの定理より、 ＡＣ・ＢＤ＝ＡＢ・ＣＤ＋ＡＤ・ＢＣ なので、
ＡＣ2＝１０・１０＋６・１８＝２０８ よって、 ＡＣ＝４√１３
また、 ｓｉｎ∠ＡＢＣ＝４/５ なので、正弦定理より、外接円の半径Ｒは、
Ｒ＝ＡＣ/（２ｓｉｎ∠ＡＢＣ）＝４√１３/（８/５）＝５√１３/２ （終）
（コメント） いざ、解いてはみたものの、中学生だったらどう解くのだろう？
上記で、プトレマイオスの定理を用いたが、これもある意味でピタゴラスの定理と同類なの
で、「ピタゴラスの定理は使っちゃ駄目」という制約にもしかしたら違反しているかもしれない。
また、上記では正弦定理を用いたが、正弦定理を持ち出すまでもなく、ＢをＢ’Ｄが直径に
なるように周上を移動させれば、相似比が使えて、ＡＣ/２Ｒ＝８/１０ から Ｒ＝５√１３/２
を導くことが出来る。
このように考えれば十分中学校レベルで対応可能だろう。
DD++さんからのコメントです。（平成２７年８月３１日付け）
これ、確かに簡単ではないんですが、中学数学屈指かと言われれば疑問です。中学３年生
なら正解者は少なくないと思いますよ。
というのは、我々は円の半径を求める方法をたくさん知っていて、今回はどれを使うと答え
が出るのか、どれを使うと答えが出ないのか、それを見極めてから解き始める必要がありま
す。しかし、一般的な中学３年生の場合、半径を実際に引いてその線分の長さを求める方法
しか知りません。ですから、何も考えずOAやOBやOCやODを実際に書き込んでみるでしょう。
でないと、計算を一切始められないんですから。
そうしたら、後は、「二等辺三角形は真っ二つにしてみよう」という受験数学お決まりの手順
を行ったときに、「中心角を半分にしたら円周角と同じだ！」と気づくかの一点だけ。
二等辺三角形６つのうち、△OAB、△OAC、△OBD、△OCDの4つどれを二等分しても当た
りで、相似の計算をして終わりです。
（点Aや点Dから辺BCに垂線を下ろすのは前の問題で既に行われているはず）
図形問題が難しい都道府県なら並の問題じゃないかなあ。
（コメント） DD++さんに同感です。高校入試では、三平方の定理を使う問題は頻出問題な
ので、ＡＣ＝４√１３は中学三年なら求めて欲しいところです。後は、DD++さんの
指針に従って、Ｒ/５＝ＡＣ/８ から、Ｒ＝５√１３/２ は容易だろう。
