・ 割り算の意味 Ｓ．Ｈ氏
割り算の問題で、例えば、「６÷３」は、次のように２通りの意味に解することができる。
（１） 等分除・・・全体量÷分割数＝１分割当たり量
例 ６個を３人に等分するとき、一人当たり２個となる。
（２） 包含除・・・全体量÷１分割当たり量＝分割数
例 ６個を一人当たり２個ずつ分けると、３人に分けられる。
「６÷３」の計算をするとき、上のどちらで計算しているのか、特に意識することはないと思
うが、
「６ の中に、３ が何個あるか？」 または 「３ に何を掛けたら、６
になるか？」
という認識は大切で、「２」という答を我々は得ることが出来る。
また、「３」を「１」と考えれば、「６」は「２」ということからも、「６÷３」の答が得られる。
（参考：私の疑問「Ⅱ」）
このような認識において、「１÷1/6」という割り算も、同様にできる。
この計算から、
となり、分数で割ることは、その逆数を掛けることに等しいことが分かる。
「分数で割ることは、その逆数を掛けることに等しい」ということに関して、次のような説明
もあることを最近知った。
「６÷３」は、「３ に何を掛けたら、６ になるか？」という認識を活用したものである。
いま、試しに次のような計算をしてみる。
 |
が成り立つ。これは、 |
 |
ということを用いてい |
るが、「示すべき事柄を用いている」という不安があるので、
と式変形して求めてもよい。したがって、このとき、
が成り立つ。
（参考文献：木村俊一 著 算数の究極奥義教えます（講談社））
（追記） 部屋で仕事をしていたら、ふらっと事務のＨさんが現れて、私の疑問を解決してほ
しいと頼まれた。それは、「分数で割るとき、逆数に直して掛けるのはなぜか？」と
いうものだった。（Ｈ１６年８月１１日付け）
このページを引き合いに出して説明を始めたのだが、いざ読み返してみると、「ず
いぶん分かりにくいな！」ということに気づかされた。
Ｈさんも納得いかないようで困っておられた。そこで、次のように説明してみた。
６÷１＝６ のように、１ で割る場合、その答はたちどころに出る。
そこで、６÷２ で、割る数 ２ を １ にすることを考えればよい。
２ を １ に、すなわち半分にすれば、６ も半分になって、３ 。これが答になる。
したがって、
Ａ÷Ｂ の計算は、Ｃ÷１（１当たりの量の計算）の Ｃ を求めることに等しい。
ところで、
|
 |
の計算で、割る数 |
 |
を １ にするには、 |
 |
を掛ければよい。 |
よって、
このことから、分数で割るときは、逆数に直して掛ければよい。
このように説明してみたら、Ｈさん、「今日の説明で、一番分かった！」と合点して帰
られた。
（追記） 平成２４年１２月９日付け
塾生たちの様子を見ていると、 「÷分数」はひっくり返して掛ける ということを、理由も
考えず、単なる計算規則として覚えているにすぎないような雰囲気。
問題 ８/３ｍ2の畑に、水９/４リットルの水を均等にまくとき、１ｍ2あたり何リットルまかれ
たことになるか？
上記の説明の通り計算すれば、次のようになるだろう。
９/４÷８/３の計算で割る数８/３を１にするには、３/８を掛ければよいから、
答は、９/４×３/８＝２７/３２（リットル）となる。
計算だけだと無味乾燥なので、次のような図を活用すればもっと分かりやすくなるかな？
底面積８/３ｍ2の水槽に水を９/４リットル入れるものと考え、水槽を真横から眺める。
（水槽の底面は、１ｍ×８/３ｍの長方形とする。）
|
水を９/４リットル
↓ |
割り算の答は、１ｍ2の上に水がどれだけある
かを見いだすことに等しい。
|
| |
|
|
底面積８/３ｍ2 |
水槽に、辺の長さが８/３ｍの方を横に１/３毎、高さは縦に１/４毎に区切り線を入れる。
|
水を９/４リットル
↓ |
|
| |
|
← ９×８＝７２個の直方体に分割
１リットルはちょうど ４×８＝３２個の直方体を
集めたもの。 |
|
底面積８/３ｍ2 |
|
底面１ｍ2の上に直方体が ９×３＝２７個ある。よって、求める答は、 ２７/３２ となる。
（コメント） ９/４÷８/３の計算が、（９×３）/（４×８） すなわち、 ９/４×３/８ ということが
視覚的に理解されるかな？
（追記） 平成２５年１０月１２日付け
江藤邦彦 著 「お父さんのための数学 １００の常識 （日本実業出版社）
を読んでいて、次の問いにハッとさせられた。
３÷５ は何故 ３/５ に等しいか？
この問いかけをされて、「そんなの当たり前じゃん」とか「そういう決まりだから」と答える人
の何と多いことか．．．。実は、正直に告白すると、私もその一人。特に何も考えずに、今ま
で「３÷５＝３/５」としてきた。これにも説明が必要とは正直驚いた。
次のように説明するといいらしい。
３本のカステラがあります。これを５人で等分するという計算が「３÷５」で、その計算結果が
一人の取り分になります。
ところで、１本のカステラを５等分すると、一人当たりの取り分は、１/５。カステラが３本ある
ので、一人の取り分は、 １/５＋１/５＋１/５＝３/５ となります。
以上から、 ３÷５＝３/５ と言えます。
（コメント） 分かったような分からないような、そんな．．．雰囲気！「１÷５」を「１/５」と決めつ
けている時点で話は終わりかな？
