・合同分割                       DD++ 氏

 パズル「合同図形に分割」を読んでふと思いついた問題。

 Nを2以上の自然数とします。ある(都合のいい)三角形を合同なN個の図形に分割すること
を考えます。

 N=2のときは二等辺三角形を用意して、頂点と底辺中点を結ぶ線を引けば合同に2分割
できます。(このように裏返しての合同でも構いません)

 N=3のときは正三角形を用意して、中心と各辺中点を結ぶ線を引けば合同に3分割でき
ます。(このように分割後の図形は三角形以外でもかまいません)

 このように続けていくとして、どのようなNなら分割可能でしょうか?

 なお、30以下の範囲では、

 N=2、3、4、5、6、8、9、10、12、13、16、17、18、20,24、25、26、27、29

は可能なことが私の手元ではわかっていますが、不可能証明できたものはありません。


 らすかるさんからのコメントです。(平成27年4月1日付け)

 書かれている数が分割可能なことはわかりましたので、「N=7が出来ないか」をしばらくあ
れこれ考えたのですが、まだ出来ません。もしかしたら出来ないのでしょうか。しかし、出来
ないとしても証明は難しそうですね。

 (1)  2平方数の和で表せる数または3または6
 (2)  平方数
 (3)  (1)と(2)の積

のときに分割可能なことはわかりましたが、他に出来るものはあるでしょうか。


(コメント) 面白い問題設定ですね!いくつか追認してみました。

 N=4のとき、正三角形の各辺の中点を結ぶと4分割可能。

 N=5のとき、次のような特殊な三角形を考えると5分割可能(この三角形は4分割も可能)

   

 N=6のとき、N=3の場合から、さらに中心と各頂点を結んで分割すれば6分割可能。


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