・Ａ^ｎ＋Ｂ^ｎの具体式　 　 　 　　 　 　 　　　　　 　 　 ＧＡＩ 氏

　解と係数などの問題で、A+B=X、AB=Yの時、A²+B²やA³+B³の値を求めさせる問題に遭
遇する。もちろん、

　　A²+B²=(A+B)²-2AB=X²-2Y　、A³+B³=(A+B)³-3AB(A+B)=X³-3XY

の式を暗記しておけば一発で対処できる。またそれ以上の指数では、

　　Aⁿ+Bⁿ=(A+B)(A^n-1+B^n-1)-AB(A^n-2+B^n-2)

さえ覚えておけば対応可能という感覚を持っていた。そこで、では実際にどんな式が構成し
ていけるんだろうかと挑戦してみた。（具体的に書き表しているのを見かけない。）

　例の如く何処かでタイプミスや計算間違いが起こっているやもしれないので、どなたかの
確認をお願いしたい。でも何方かが投稿済みかもしれないな？


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２７年３月２日付け）

　参考：「対称式の真実」


　らすかるさんが考察されました。（平成２７年３月２日付け）


　りらひいさんからのコメントです。（平成２７年３月２日付け）

　私もこの前この式が気になってn=10までは手計算で計算しました。その後、少し調べたら
ＨＰサイト「ニュートン多項式」が見つかりました。わたしの投稿の等式の左辺はこのページ
に書かれている結果を利用しています。


　ａｔ さんからのコメントです。（平成２８年８月２８日付け）

　等式　−｛log(1−At)＋log(1−Bt)｝＝−log(1−((A＋B)t−ABt²))　の両辺を展開して、

Σ_n=1〜∞ (Aⁿ＋Bⁿ)tⁿ/n＝Σ_k=1〜∞ ((A＋B)t−ABt²)^k/k

　両辺のtⁿの係数を比較して、

(Aⁿ＋Bⁿ)/n＝Σ_{k=0〜floor(n/2)　n-k}Ｃ_k(A＋B)^n-2k(−AB)^k/(n−k)

つまり、

Aⁿ＋Bⁿ＝Σ_{k=0〜floor(n/2)} (-1)^k(n/(n-k))_n-kＣ_k(A＋B)^n-2k(AB)^k