・無理数の証明　 　 　 　　 　 　 　　　　　 　 　 よおすけ氏

　無理数の証明で逃げられないもの、例えば、以下の問題です。

　は無理数であることを証明せよ。

　これについては、「無限降下法」で詳しくあるのでここでは書きません。ただ、気になった点

を挙げると、すべて、「結論を否定するとそこから不合理が出る」があります。これを使わず

に証明しようとしましたが、挫折したのを覚えています。そうです、今回の題名の「逃げられ

ない」は「結論を否定」です。なんで、無理数の証明やるのに、「結論を否定」なのか？と思っ

ていましたが、2014/3/8付の青空学園数学科の掲示板での書き込みで、

　(前略)　無理数の証明に背理法が現れるのは避けられません。なぜかというと、無理数の
定義自体が「有理数でない実数」と否定を含む定義ですから。

　これを見て、以下のように思いました。

　そうか・・・無理数という用語そのものが「有理数でない」だから、証明となると「結論を否定」
が避けられないのか。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２７年３月２日付け）

　絶対に「背理法」でなければいけないわけではないと思います。例えば、

　ａを有理数とする。ａが整数の時、２乗すると、０、１、４、９、・・・のどれかになるから、ａ²が

２になることはない。ａが整数でないとき、ａ＝ｐ/ｑ　（ｐ、ｑは整数、ｐ/ｑは既約分数で、ｑ＞1）

とすると、　ａ²＝ｐ²/ｑ²　であり、これも既約分数なので、ａ²が２になることはない。

　従って、ａが有理数ならば、ａはではない。対偶により、ａがならば、ａは無理数。

　意味的には変わりませんが、これは「背理法」とは言いませんよね。その他、有理数か無
理数かが決まる他の定理を使って良い場合は、背理法を使わずに示せますね。