「角の２等分」と聞いて、直ぐに、その作図方法が頭に描ける人は、かなり幾何が好きな人
である。
中学・高校で習う「角の２等分」は、上図のように、頂角Ｏ が分かっている場合に限られて
いる。
（作図方法） 頂角Ｏを中心として、適当な半径で円弧を描き、２直線との交点を、Ｅ、Ｆ とす
る。次に、２点Ｅ、Ｆ を中心として、適当な同じ半径で円弧を描き、その交点を
Ｇとする。このとき、２点Ｏ、Ｇ を結ぶ直線が求めるものである。
ところが、最近、次のような問題に遭遇した。
問題 頂角を持たない角を２等分せよ。
「頂角を持たない」という条件なので、上図のように、頂角を作図してから、通常の「角の２等分」の
作図をするのは邪道であろう。
この問題に対して、次のような作図方法がある
ことを、最近知った。
結果が分かれば、その証明は容易である。
「作図の心構え」に従って、作図すればよい。
（作図方法） ２つの線分ＡＢ、ＣＤに交わる直線を適当に引き、交点を、Ｐ、Ｑ とする。
解析 ・・・ 角の２等分線が引けたものとする。このとき、この２等分線上には、
△ＯＰＱ の内心と傍心が存在する。よって、この２点を作図すれば、
求める直線が得られる。
作図 ・・・ ２点Ｐ、Ｑ において、角の２等分線を引き、それらの交点を、Ｒ、Ｓ
とおく。このとき、２点Ｒ、Ｓ を結ぶ直線を引けばよい。
証明 ・・・ 四角形ＰＳＱＲ は、∠ＳＰＲ＝∠ＳＱＲ＝９０°なので、円に内接する
四角形である。三角形の外角の性質と、円周角の定理により、
ｘ＋∠ＯＱＲ＝∠ＳＲＱ＝∠ＳＰＱ 、 ｙ＋∠ＯＰＲ＝∠ＳＲＰ＝∠ＳＱＰ
よって、 ｘ ＝∠ＳＰＱ−∠ＯＱＲ＝∠ＳＰＱ−∠ＰＱＲ
ｙ ＝∠ＳＱＰ−∠ＯＰＲ＝∠ＳＱＰ−∠ＱＰＲ
したがって、
ｘ − ｙ ＝（∠ＳＰＱ−∠ＰＱＲ）−（∠ＳＱＰ−∠ＱＰＲ）
＝（∠ＳＰＱ＋∠ＱＰＲ）−（∠ＰＱＲ＋∠ＳＱＰ）
＝∠ＳＰＲ−∠ＳＱＲ
＝ ０ （∠ＳＰＲ＝∠ＳＱＲ＝９０°より）
よって、 ｘ ＝ ｙ
以上から、２点Ｒ、Ｓ を結ぶ直線ＲＳは、２つの線分ＡＢ、ＣＤのなす角を２等分する。
（参考文献：野口健助 著 平面画法入門（日刊工業新聞社））
