・角の２等分　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｓ．Ｈ氏

　「角の２等分」と聞いて、直ぐに、その作図方法が頭に描ける人は、かなり幾何が好きな人
である。
　

　中学・高校で習う「角の２等分」は、上図のように、頂角Ｏ が分かっている場合に限られて
いる。
（作図方法）　頂角Ｏを中心として、適当な半径で円弧を描き、２直線との交点を、Ｅ、Ｆ とす
　　　　　　る。次に、２点Ｅ、Ｆ を中心として、適当な同じ半径で円弧を描き、その交点をＧと
　　　　　　する。このとき、２点Ｏ、Ｇ を結ぶ直線が求めるものである。

　ところが、最近、次のような問題に遭遇した。

問題　　頂角を持たない角を２等分せよ。

「頂角を持たない」という条件なので、上図のように、 　　頂角を作図してから、通常の「角の２等分」の作図を 　　するのは邪道であろう。 　　　この問題に対して、次のような作図方法があること 　　を、最近知った。 　　　結果が分かれば、その証明は容易である。 　　「作図の心構え」に従って、作図すればよい。

（作図方法）　　２つの線分ＡＢ、ＣＤに交わる直線を適当に引き、交点を、Ｐ、Ｑ とする。

解析　・・・　角の２等分線が引けたものとする。このとき、この２等分線上には、△ＯＰＱ の
　　　　　　内心と傍心が存在する。よって、この２点を作図すれば、求める直線が得られる。

作図　・・・ 　２点Ｐ、Ｑ において、角の２等分線を引き、それらの交点を、Ｒ、Ｓとおく。このと
　　　　　　き、２点Ｒ、Ｓ を結ぶ直線を引けばよい。

　

証明　・・・　四角形ＰＳＱＲ は、∠ＳＰＲ＝∠ＳＱＲ＝９０°なので、円に内接する四角形である。
　三角形の外角の性質と、円周角の定理により、
　ｘ＋∠ＯＱＲ＝∠ＳＲＱ＝∠ＳＰＱ　　、　ｙ＋∠ＯＰＲ＝∠ＳＲＰ＝∠ＳＱＰ
よって、　ｘ ＝∠ＳＰＱ−∠ＯＱＲ＝∠ＳＰＱ−∠ＰＱＲ
　ｙ ＝∠ＳＱＰ−∠ＯＰＲ＝∠ＳＱＰ−∠ＱＰＲ
したがって、
　ｘ − ｙ ＝（∠ＳＰＱ−∠ＰＱＲ）−（∠ＳＱＰ−∠ＱＰＲ）
＝（∠ＳＰＱ＋∠ＱＰＲ）−（∠ＰＱＲ＋∠ＳＱＰ）
＝∠ＳＰＲ−∠ＳＱＲ＝ ０　　　（∠ＳＰＲ＝∠ＳＱＲ＝９０°より）
よって、　ｘ ＝ ｙ

以上から、２点Ｒ、Ｓ を結ぶ直線ＲＳは、２つの線分ＡＢ、ＣＤのなす角を２等分する。


（参考文献：野口健助　著　平面画法入門（日刊工業新聞社））