・角の２等分　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｓ．Ｈ氏

　「角の２等分」と聞いて、直ぐに、その作図方法が頭に描ける人は、かなり幾何が好きな人
である。
　

　中学・高校で習う「角の２等分」は、上図のように、頂角Ｏ が分かっている場合に限られて
いる。

（作図方法）

　頂角Ｏを中心として、適当な半径で円弧を描き、２直線との交点を、Ｅ、Ｆ とする。次に、２
点Ｅ、Ｆ を中心として、適当な同じ半径で円弧を描き、その交点をＧとする。
　このとき、２点Ｏ、Ｇ を結ぶ直線が求めるものである。

　ところが、最近、次のような問題に遭遇した。

問題　　頂角を持たない角を２等分せよ。

「頂角を持たない」という条件なので、上図のように、 　　ＡＢ、ＣＤを延長して頂角を作図してから、通常の「角 　　の２等分」の作図をするのは邪道であろう。 　　　この問題に対して、次のような作図方法があること 　　を、最近知った。 　　　結果が分かれば、その証明は容易である。 　　「作図の心構え」に従って、作図すればよい。

（作図方法）　　２つの線分ＡＢ、ＣＤに交わる直線を適当に引き、交点を、Ｐ、Ｑ とする。

解析　・・・　角の２等分線が引けたものとする。このとき、この２等分線上には、△ＯＰＱ の
　　　　　　内心と傍心が存在する。よって、この２点を作図すれば、求める直線が得られる。

作図　・・・ 　２点Ｐ、Ｑ において、角の２等分線を引き、それらの交点を、Ｒ、Ｓとおく。このと
　　　　　　き、２点Ｒ、Ｓ を結ぶ直線を引けばよい。

　

証明　・・・　四角形ＰＳＱＲ は、∠ＳＰＲ＝∠ＳＱＲ＝９０°なので、円に内接する四角形である。
　三角形の外角の性質と、円周角の定理により、
　ｘ＋∠ＯＱＲ＝∠ＳＲＱ＝∠ＳＰＱ　　、　ｙ＋∠ＯＰＲ＝∠ＳＲＰ＝∠ＳＱＰ
よって、　ｘ ＝∠ＳＰＱ−∠ＯＱＲ＝∠ＳＰＱ−∠ＰＱＲ
　ｙ ＝∠ＳＱＰ−∠ＯＰＲ＝∠ＳＱＰ−∠ＱＰＲ
したがって、
　ｘ − ｙ ＝（∠ＳＰＱ−∠ＰＱＲ）−（∠ＳＱＰ−∠ＱＰＲ）
＝（∠ＳＰＱ＋∠ＱＰＲ）−（∠ＰＱＲ＋∠ＳＱＰ）
＝∠ＳＰＲ−∠ＳＱＲ＝ ０　　　（∠ＳＰＲ＝∠ＳＱＲ＝９０°より）
よって、　ｘ ＝ ｙ

以上から、２点Ｒ、Ｓ を結ぶ直線ＲＳは、２つの線分ＡＢ、ＣＤのなす角を２等分する。


（参考文献：野口健助　著　平面画法入門（日刊工業新聞社））


（追記）　令和６年１２月９日付け

　上記では、直線ＰＱを引き、それぞれの内角、外角の２等分線の交点から内心、外心を作
図し、その２点を通る直線が、求める角の２等分線であることを示している。

　同様に、直線ＡＣ、ＢＤを用いれば、内心と内心、内心と傍心、傍心と内心、傍心と傍心の
作図からも得られる。内心・傍心については高校レベルの話であろう。

　頂角Ｏなしで、内心・傍心によらない直接的に求める方法も考えられる。

線分ＡＢ上に任意に点Ｐをとり、Ｐより線分ＣＤに垂線 　ＰＨを下ろす。Ｐにおける線分ＡＢの垂線と線分ＣＤの交 　点をＫとおく。∠ＫＰＨの２等分線と線分ＣＤの交点をＭ 　遠く。Ｍにおける線分ＣＤの垂線と線分ＰＫとの交点を 　Ｑとおくと、Ｑは、線分ＡＢ、ＣＤのなす角の２等分線上に 　ある。 　　同様の操作を線分ＡＢ上の点Ｐ’で行い、点Ｑ’を得れ 　ば、直線ＱＱ’が求める角の２等分線となる。 （単に、∠ＰＱＭの２等分線を引いてもよい。）

（コメント）　△ＰＭＱが２等辺三角形になるところが面白いですね！しかも、点Ｑは、線分ＡＢ、
　　　　　ＣＤに接する円の中心になります。

　次のように、直接、角の２等分線を得る方法もある。

線分ＡＢ上に任意に点Ｐをとり、Ｐより線分ＣＤに平行 　線ＰＱを引く。 　　∠ＢＰＱの２等分線上に任意に点Ｈをとり、ＰＨに垂直 　な直線を引き、線分ＡＢ、ＣＤとの交点をそれぞれＮ、Ｍ 　とおく。 　　線分ＭＮの中点をＫとおき、Ｋにおいて線分ＭＮに垂 　直な直線を描けば、これが求める角の２等分線となる。

　もちろん、素朴に頂角Ｏを作図して、角の２等分線を引いてもよい。

線分ＡＢ、ＣＤ上に任意に点Ｐ、Ｑをとり、Ｐ、Ｑにおけ 　る垂線上に等距離にＰ’、Ｑ’をとる。 　　Ｐ’、Ｑ’において、線分ＡＢ、ＣＤに平行な直線ｍ、ｎ 　を引き、その交点をＲとする。 　　Ｒにおける角の２等分線が求めるものである。

　また、２等辺三角形を巧妙に用いて求める方法もある。

線分ＡＢ上に任意に点Ｐをとり、Ｐにおける垂線が線 　分ＣＤと交わる点をＱとする。Ｑにおける線分ＣＤの垂 　線上に、ＱＰ＝ＱＲとなる点Ｒをとる。 　　線分ＰＲと線分ＣＤの交点をＳとおき、Ｓにおける垂 　線が線分ＰＱと交わる点をＭとおく。 　このとき、Ｍは求める角の２等分線上の点となる。 　　同様の操作を線分ＡＢ上の点Ｐ’で行い、点Ｍ’を得 　れば、直線ＭＭ’が求める角の２等分線となる。

　次の作図方法も面白い。

線分ＡＢ上に任意に点Ｐをとり、Ｐにおける垂線が線 　分ＣＤと交わる点をＱとする。また、点Ｐから線分ＣＤに 　垂線ＰＲを引く。 　　∠ＱＰＲの２等分線が線分ＣＤと交わる点をＳとおく。 　　このとき、∠ＡＰＳ＝∠ＣＳＰなので、線分ＰＳの垂直２ 　等分線を引けば、これが求める角の２等分線となる。

　　以下、工事中！