岐阜大学前期全学部（２０１４）に次のような問題が出題されている。
２０１４10 に関して、以下の問に答えよ。ただし、必要ならば ７9＝４０３５３６０７、
７10＝２８２４７５２４９ を用いてもよい。
（１） ２０１４10 の十の位の数字を求めよ。
（２） ２０１４10 の十万の位の数字を求めよ。
（３） ２０１４10 の上３桁の数字を求めよ。
累乗数に対して桁数を求めたり最高位の数字を求めることは、一つの受験数学テクニック
であろう。（→参考：「指標と仮数」）
それに対して、上記の岐阜大学の問題は、受験テクニックを翻弄するような、よく考えられ
た問題である。特に、（３）が難問と思われる。
（解）（１） ２０１４10＝（２・１００７）10＝２10・（１０3＋７）10 の十の位の数字は、
２10・７10＝（１０＋４）10 を展開したときの十の位の数字に等しいので、
４10＝１０２４×１０２４＝１０４８５７６ から、求める数字は、７
（２） 十万＝１０００００＝１０5 なので、
２０１４10＝（２・１００７）10＝２10・（１０3＋７）10 の十万の位の数字は、
２10（１０・１０3・７9＋７10）＝１０２４・７9・１０００７ を展開したときの十万の位の数字
に等しいので、４１３５１０１９０３３４９７６ より、求める数字は、３
（３） ２０１４10＝２10・（１０3＋７）10
＝２10・（１０30＋１０・１０27・７＋４５・１０24・７2＋・・・＋７10）
ここで、第３項以降の項の比を考えると、
10Ｃｋ+1１０3(10-(ｋ+1))・７ｋ+1/10Ｃｋ１０3(10-ｋ)・７ｋ
＝７（１０−ｋ）/（１０3（ｋ＋１））＜７・１０/（１・１０3）＝７/１００ なので、
４５・１０24・７2＋・・・＋７10
＜４５・１０24・７2・（１−（７/１００）9）/（１−（７/１００））
＜４５・１０24・７2・１００/９３＜４５・１０24・５０・１００/９０＝２５・１０26
と評価できる。よって、
２10・（１０30＋１０・１０27・７）＜２０１４10＜２10・（（１０30＋１０・１０27・７）＋２５・１０26）
１０２４・１０７・１０28＜２０１４10＜１０２４・(１０７・１０28＋（１/４）１０28)
したがって、 １０９５６８・１０28＜２０１４10＜１０２４・(４２８/４）・１０28＝１０９５６８・１０28
よって、上３桁の数字は、１０９ である。
（コメント） 対数値 ｌｏｇ102．014＝0．304059466217599 が与えられていれば、
ｌｏｇ10（2014）10＝ｌｏｇ10（2．014×103）10＝10（3．304059466217599）＝33．04059466217599
すなわち、 ２０１４10 は、３４桁の数で、その仮数が、0．04059466217599 である。
ちょっと詳しい対数表によれば、ｌｏｇ101.09＝0．0374 で比例部分も加味して、
ｌｏｇ101.098＝0．0407 が得られるので、上３桁の数字は、１０９
Ｅｘｃｅｌ さんの協力を得れば、（2014）10＝1．09798058851345E+33 となっている。
WolframAlpha によれば、（2014）10＝1097980588513453439979380270334976 となる。
読者の方のために練習問題を残しておこう。
２０１8 の上３桁の数字を求めよ。
数自体が小さいので、手計算でもできそうなくらいである。
実際に計算してみると、２０１8＝２６６４２１００３２４４９１２１６０１ なので、答えは、「２６６」
となるが、それでは味気ない。
（私の直ぐ思いつく解法） 対数値 ｌｏｇ102．01＝0．3032 を用いて、
ｌｏｇ10（201）8＝ｌｏｇ10（2．01×102）8＝8×（2．3032）＝18．4256
すなわち、 ２０１8 は、１９桁の数で、その仮数が、0．4256 である。
ちょっと詳しい対数表によれば、ｌｏｇ102．664＝0．4256 なので、（201）8＝2．664×1018
から、上３桁の数字は、２６６ となる。
また、次のように考えてもいいだろう。
（201）8＝28（103＋５）8/108＝256×（1016＋40・1013＋7・1012＋7・1010＋・・・）＋１
上３桁は、ａ・1016＋ｂ・1015＋ｃ・1014 なので、第３項以降は無視しても影響を与えない。
よって、 256×（1016＋40・1013）＝（256000＋10240）・1013＝266240・1013 から、
答えは、「２６６」となる。
