△ABCの３辺の長さをａ、ｂ、ｃ、外接円の半径をRとする。さらに、σ2＝ａ2＋ｂ2＋ｃ2 とす
るとき、 ０＜σ/R≦３ が成り立つ。
（証明） △ABCの外心Ｏを始点とする頂点A、B、Cの位置ベクトルを、ａ、ｂ、ｃ とする。この
とき、実数 ｓ、ｔ、ｕ を用いて、ｓａ＋ｔｂ＋ｕｃ で表されるベクトルOPの大きさは、
|OP|2＝(ｓａ＋ｔｂ＋ｕｃ)･(ｓａ＋ｔｂ＋ｕｃ)
＝ｓ2・|ａ|2＋ｔ2・|ｂ|2＋ｕ2・|ｃ|2＋２ｓｔ・(ａ･ｂ)＋２ｔｕ・(ｂ･ｃ)＋２ｕｓ・(ｃ･ａ)
＝R2(ｓ2＋ｔ2＋ｕ2)＋２ｓｔ(R2cos2C)＋２ｔｕ(R2cos2A)＋２ｕｓ(R2cos2B) （∵ 中心角＝２×円周角）
＝R2(ｓ2＋ｔ2＋ｕ2)＋２ｓｔR2（１−２sin2C）＋２ｔｕR2（１−２sin2A）＋２ｕｓR2（１−２sin2B）
（∵２倍角の公式 cos2θ＝１−２sin2θ）
＝R2(ｓ2＋ｔ2＋ｕ2)＋２ｓｔR2（１−２(c/2R)2）＋２ｔｕR2（１−２(a/2R)2）＋２ｕｓR2（１−２(ｂ/2R)2）
(∵正弦定理より、a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R)
＝R2(ｓ2＋ｔ2＋ｕ2)＋２ｓｔ（R2−c2/2）＋２ｔｕ（R2−a2/2）＋２ｕｓ（R2−ｂ2/2）
＝R2(ｓ2＋ｔ2＋ｕ2＋２ｓｔ＋２ｔｕ＋２ｕｓ)−（ｓｔｃ2＋ｔｕa2＋ｕｓｂ2）
＝R2（ｓ＋ｔ＋ｕ）2−（ｔｕa2＋ｕｓｂ2＋ｓｔｃ2）
とベクトルの大きさが計算できる。そこで今、Pを△ABCの重心Gに選ぶと、ｓ＝ｔ＝ｕ＝1/3 で、
|OP|2＝R2−(a2＋ｂ2＋ｃ2）/9≧0 より、 ９R2≧a2＋ｂ2＋ｃ2＝σ2
よって、 ９≧σ2/R2 即ち、σ/R≦３ が成立する。 （証終）
一方、ａｂｃ＝４SR （Ｓは△ABCの面積）の関係があるので両辺平方して、ａ2ｂ2ｃ2＝１６S2R2
ヘロンの公式から、S2 を書き直すと、（→ 参考：「三角形の面積の公式」）
ａ2ｂ2ｃ2＝R2・２ｓ（２ｓ−２ａ）（２ｓ−２ｂ）（２ｓ−２ｃ）
＝R2・（−ａ4−ｂ4−ｃ4＋２ａ2ｂ2＋２ｂ2ｃ2＋２ｃ2ａ2）
これから、σ2/R2＝(a2＋ｂ2＋ｃ2）（−ａ4−ｂ4−ｃ4＋２ａ2ｂ2＋２ｂ2ｃ2＋２ｃ2ａ2）/（ａ2ｂ2ｃ2）
よって、
σ2/R2−８＝(a2＋ｂ2＋ｃ2）（−ａ4−ｂ4−ｃ4＋２ａ2ｂ2＋２ｂ2ｃ2＋２ｃ2ａ2）/（ａ2ｂ2ｃ2）−８
右辺を通分して、その分子をNUMEと置くと、
NUME＝(a2＋ｂ2＋ｃ2）（−ａ4−ｂ4−ｃ4＋２ａ2ｂ2＋２ｂ2ｃ2＋２ｃ2ａ2）−８ａ2ｂ2ｃ2
＝(a2＋ｂ2＋ｃ2）（−(a2＋ｂ2＋ｃ2）2＋４ａ2ｂ2＋４ｂ2ｃ2＋４ｃ2ａ2）−８ａ2ｂ2ｃ2
＝−(a2＋ｂ2＋ｃ2）3＋４(a2＋ｂ2＋ｃ2）（ａ2ｂ2＋ｂ2ｃ2＋ｃ2ａ2）−８ａ2ｂ2ｃ2
ここで、X＝a2＋ｂ2＋ｃ2 と置くと、上式は、
NUME＝−Ｘ3＋４Ｘ（ａ2ｂ2＋ｂ2ｃ2＋ｃ2ａ2）−８ａ2ｂ2ｃ2
となるが、ここに、(X−２ａ2)(X−２ｂ2)(X−２ｃ2) を展開すると、
(X−２ａ2)(X−２ｂ2)(X−２ｃ2) ＝X3−２(a2＋ｂ2＋ｃ2)X2＋４(ａ2ｂ2＋ｂ2ｃ2＋ｃ2ａ2)X−８ａ2ｂ2ｃ2
＝X3−２Ｘ・X2＋４(ａ2ｂ2＋ｂ2ｃ2＋ｃ2ａ2)X−８ａ2ｂ2ｃ2＝−X3＋４(ａ2ｂ2＋ｂ2ｃ2＋ｃ2ａ2)X−８ａ2ｂ2ｃ2
となり、NUMEに一致する。結局、
σ2/R2−８＝(X−２ａ2)(X−２ｂ2)(X−２ｃ2) /(ａ2ｂ2ｃ2)
＝(-a2＋ｂ2＋ｃ2)(a2−ｂ2＋ｃ2)(a2＋ｂ2−ｃ2)/(ａ2ｂ2ｃ2)
となり、 △ABC：鋭角三角形 ⇔ σ2/R2−８＞０ ⇔ ２
＜σ/R△ABC：直角三角形 ⇔ σ2/R2−８＝０ ⇔ ２
＝σ/R△ABC :鈍角三角形 ⇔ σ2/R2−８＜０ ⇔ σ/R＜２
なる関係式が成立する。（なお、△ABC：正三角形 ⇔ σ/R＝３）
以上のことを総合的に検討すると、自由に選べる（ランダム的）(a，b，c) に対し、Rは、この
(a，b，c) に依存してきまるから、結局、D=σ/R の値は勝手に選んだ(a，b，c) に対し、三角
形の形状を決める指標と見なすことができる。
しかし、このDの数値の範囲から、
鋭角三角形：鈍角三角形＝(3-2
)：2＝1：2/(3-2)＝1：8+6√2＝1：16.48528･･･が起こる。この圧倒的な比率の差は、平面に勝手に選んだ３点を結ぶ三角形の形状は、殆
ど鈍角三角形になる。（94.2809･･･％)
この解釈でいいのでしょうか？（直感的にはどこかおかしい気もしますが、どこかわからない。）どこ
かでタイプミスしているかもしれませんが、論理の破綻部分を御指摘願いたい。
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年６月１３日付け）
計算とか全然見ていませんが、もし「平面」として無限に広い平面を考えているのであれば、
まず「勝手に選ぶ」ことは不可能だと思います。（選び方をきちんと定義しないと確率が出ません。）
また、有限の平面の場合は、その平面の形状によると思います。計算が大変そうなので、
適当にシミュレーションプログラムを作って実験したところ、円内の3点を選ぶと、鈍角三角形
になる確率は約0.7445で、正方形内の3点を選ぶと、鈍角三角形になる確率は約0.7252とな
りました。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年６月１３日付け）
気づいた問題点は２つあります。
まず1つ目。この問題は有名な以下の問題と同じ欠陥を抱えています。これを少し考えて
みてください。
問題： 円に勝手な弦を一本引く。その長さが円の内接正三角形の辺長より長い確率につい
て、正しい主張はどれか。
A：「弦が水平になるように見たとき弦が中心の上下r/2の範囲にあればいいから、その確率
は1/2」
B：「弦の片方の端点から円周を三等分し、もう片方の端点が向かいの弧にあればいいから
その確率は1/3」
C：「円内部の点とそこを中点とする弦は一対一に対応するので、中点が半径r/2の同心円
内にあればよく、その確率は1/4」
どれが正解でしょうか。自分なりの考えがまとまりましたら「ベルトランの逆説」で検索をど
うぞ。GAIさんの問題もこれに該当していると思います。
そして2つ目。何らかの方法で、正実数ａ、ｂ、ｃを「無作為に」与えられたとして、(1，2，4)な
ど、三角形にならない例が発生します。
この場合、形式的には、SとRは純虚数になり、σ2/R2＜０ なので、当然、σ2/R2−８＜０
つまり、三角形にならないケースが誤って鈍角三角形成立に分類されているようです。
ＹＩ さんからのコメントです。（平成２６年６月１３日付け）
実際そうなるのでは？三角形は、「３点の位置をランダムに決める」ということにして、A、B
の２点を固定して考えます。図を回転させて、ABを水平に持ってくると、Aの左側及びBの右
側の無限に続く領域で鈍角三角形になり、鋭角三角形になるのはその間の狭い領域しかな
いので、無限の平面上では、直観的に考えたところ、ほぼ100パーセントで鈍角三角形にな
る気がしますが．．．。
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年６月１３日付け）
無限の平面では、「A、Bの２点を一様にランダムに決める」ことができませんので、そうい
う理屈にはならないと思います。例えば、Aは、まあどこでもいいので固定します。次に、Bの
位置を無限の平面から「一様にランダムに」とったとすると、任意の正の実数Dに対して、
「(線分ABの長さ)＜Dとなる確率は、0」ですから、Bをどれだけ遠くにとっても近すぎであり、
「一様にランダムに」とっていることになりません。
