ベルヌーイ数を使って、自然数の20乗の和を作り出すことをやってみる。
（→ 参考：「数列の和」）
（手順１） ベルヌーイ数を揃えておく。
B(0)=1 、B(1)=-1/2 、B(2)=1/6 、B(3)=0 、B(4)=-1/30 、B(5)=0 、B(6)=1/42 、B(7)=0
B(8)=-1/30 、B(9)=0 、B(10)=5/66 、B(11)=0 、B(12)=-691/2730 、B(13)=0 、B(14)=7/6
B(15)=0 、B(16)=-3617/510 、B(17)=0 、B(18)=43867/798 、B(19)=0 、B(20)=-174611/330
（手順２） これらを元に、次の規則で係数（a0,a1,a2,a4,･･･,a20）の計算をして下準備をしておく。
a0=B0/(20+1)=1/21 、a1=-B1=1/2
B2=1/6 → 3!/(2!*2!)*B2=1/4 、4!/(3!*2!)*B2=1/3 、5!/(4!*2!)*B2=5/12 、6!/(5!*2!)*B2=1/2
7!/(6!*2!)*B2=7/12 、8!/(7!*2!)*B2=2/3 、9!/(8!*2!)*B2=3/4 、10!/(9!*2!)*B2=5/6
11!/(10!*2!)*B2=11/12 、12!/(11!*2!)*B2=1 、13!/(12!*2!)*B2=13/12
14!/(13!*2!)*B2=7/6 、15!/(14!*2!)*B2=5/4 、16!/(15!*2!)*B2=4/3
17!/(16!*2!)*B2=17/12 、18!/(17!*2!)*B2=3/2 、19!/(18!*2!)*B2=19/12
a2=20!/(19!*2!)*B2=5/3
B4=-1/30 → 5!/(2!*4!)*B4=-1/12 、6!/(3!*4!)*B4=-1/6 、7!/(4!*4!)*B4=-7/24
8!/(5!*4!)*B4=-7/15 、9!/(6!*4!)*B4=-7/10 、10!/(7!*4!)*B4=-1
11!/(8!*4!)*B4=-11/8 、12!/(9!*4!)*B4=-11/6 、13!/(10!*4!)*B4=-143/60
14!/(11!*4!)*B4=-91/30 、15!/(12!*4!)*B4=-91/24 、16!/(13!*4!)*B4=-14/3
17!/(14!*4!)*B4=-17/3 、18!/(15!*4!)*B4=-34/5 、19!/(16!*4!)*B4=-323/40
a4=20!/(17!*4!)*B4=-19/2
B6=1/42 → 7!/(2!*6!)*B6=1/12 、8!/(3!*6!)*B6=2/9 、9!/(4!*6!)*B6=1/2 、10!/(5!*6!)*B6=1
11!/(6!*6!)*B6=11/6 、12!/(7!*6!)*B6=22/7 、13!/(8!*6!)*B6=143/28
14!/(9!*6!)*B6=143/18 、15!/(10!*6!)*B6=143/12 、16!/(11!*6!)*B6=52/3
17!/(12!*6!)*B6=221/9 、18!/(13!*6!)*B6=34 、19!/(14!*6!)*B6=323/7
a6=20!/(15!*6!)*B6=1292/21
B8=-1/30 → 9!/(2!*8!)*B8=-3/20 、10!/(3!*8!)*B8=-1/2 、11!/(4!*8!)*B8=-11/8
12!/(5!*8!)*B8=-33/10 、13!/(6!*8!)*B8=-143/20 、14!/(7!*8!)*B8=-143/10
15!/(8!*8!)*B8=-429/16 、16!/(9!*8!)*B8=-143/3 、17!/(10!*8!)*B8=-2431/30
18!/(11!*8!)*B8=-663/5 、19!/(12!*8!)*B8=-4199/20
a8=20!/(13!*8!)*B8=-323
B10=5/66 → 11!/(2!*10!)*B10=5/12 、12!/(3!*10!)*B10=5/3 、13!/(4!*10!)*B10=65/12
14!/(5!*10!)*B10=91/6 、15!/(6!*10!)*B10=455/12 、16!/(7!*10!)*B10=260/3
17!/(8!*10!)*B10=1105/6 、18!/(9!*10!)*B10=1105/3 、19!/(10!*10!)*B10=4199/6
a10=20!/(11!*10!)*B10=41990/33
B12=-691/2730 → 13!/(2!*12!)*B12=-691/420 、14!/(3!*12!)*B12=-691/90
15!/(4!*12!)*B12=-691/24 、16!/(5!*12!)*B12=-1382/15
17!/(6!*12!)*B12=-11747/45 、18!/(7!*12!)*B12=-23494/35
19!/(8!*12!)*B12=-223193/140
a12=20!/(9!*12!)*B12=-223193/63
B14=7/6 → 15!/(2!*14!)*B14=35/4 、16!/(3!*14!)*B14=140/3 、17!/(4!*14!)*B14=595/3
18!/(5!*14!)*B14=714 、19!/(6!*14!)*B14=2261
a14=20!/(7!*14!)*B14=6460
B16=-3617/510 → 17!/(2!*16!)*B16=-3617/60 、18!/(3!*16!)*B16=-3617/10
19!/(4!*16!)*B16=-68723/40
a16=20!/(5!*16!)*B16=-68723/10
B18=43867/798 → 19!/(2!*18!)*B18=43867/84
a18=20!/(3!*18!)*B18=219335/63
a20=B20=-174611/330 （勿論、この規則に慣れれば直接aiの値は求められる。）
（手順３） これから自然数の20乗の公式が
Σk=1〜n ｋ20=a0*n^21+a1*n^20+a2*n^19+a4*n^17+a6*n^15+a8*n^13
+a10*n^11+a12*n^9+a14*n^7+a16*n^5+a18*n^3+a20*n
（注意：１を除く奇数でのベルヌーイ数は０なのでnの指数はn^19からn^17に飛ぶことになる。他も同様）
よって、
Σk=1〜n ｋ20=1/21*n^21+1/2*n^20+5/3*n^19-19/2*n^17+1292/21*n^15-323*n^13+41990/33*n^11
-223193/63*n^9+6460*n^7-68723/10*n^5+219335/63*n^3-174611/330*n
上記の下準備さえ整っていれば、他の自然数の19,18,17,･･･,2,1乗の和の公式も簡単に構
成できます。なお、これを因数分解すると、らすかるさんのホームページに掲載されていた
結論と一致したので安心しました。
この法則さえ理解しておけば、自然数の100乗の公式だろうが自動的にプログラム的に構
成することが可能になることになります。逆に、いかにベルヌーイ数が本質的な数値を有して
いるかが理解できました。
