「不可能の証明」で岡 潔先生が思案されているのと同様に、「存在しない」ことを証明する
こともまた然りである。「存在する」を示すには、実際に存在するものを一つあげれば十分で
あるが、「存在しない」ことを示すには、ありとあらゆる場合を考えて本当に存在しないことを
相手に説得・納得させる必要があり、その労力たるや尋常ではない。
命題が真であることを示すには証明が必要であるが、命題が偽であることを示すには命題
が成り立たない反例の存在を示せば十分である。
「最大値Ｍを求めよ。」という問題は「Ｍを超えるものは存在しない」と同義で、「存在しない
ことの証明」の範疇に入るものと考えられる。
「存在する」を示すことは、「存在しない」ことを示すよりも格段に容易であり、「存在しない」
ことを示すことは、一般に困難である。その意味で「存在しないことの証明」は、悪魔の証明
とも言われる。
次の問題を皆さんはどのように考えるだろうか？
問題 連立不等式 ｘ−２ｙ≧３ 、３ｘ−ｙ≧−２ 、−４ｘ＋３ｙ≧０ の解は存在するか？
左図のように領域を求めてみれば、３式を同時に満たす（ｘ，ｙ）
は存在しないことが分かる。即ち、「解は存在しない」である。
上記の問題は、実は一瞬にして、解が存在しないことが分かる。
実際に、解（ｘ，ｙ）が存在するとすると、 ｘ−２ｙ≧３ 、３ｘ−ｙ≧−２ 、−４ｘ＋３ｙ≧０
３式を辺々加えて、 ０ｘ＋０ｙ≧１ 即ち、 ０≧１ となり、これは矛盾である。
したがって、３式を同時に満たす（ｘ，ｙ）は存在しない。
（コメント） 上記のように、解が存在しないことを示すためには、図を描いたり、３式を加える
といった表現・技能が求められる。上記の問題はたまたま平易に示されたが、「存
在しないことの証明」には、その表現・技能を思案することが求められる。それが、
実は大変なのである。
