・面積が整数　 　　 　　　 　 　 　 　 　　 　 　　 　　 Ｓ．Ｈ氏

　△ＡＢＣにおいて、ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝ｃ とし、頂点Ａ、Ｂ、Ｃから対辺に下ろした垂線の
長さを、それぞれ ｘ、ｙ、ｚ とする。

　このとき、ａ、ｂ、ｃ、ｘ、ｙ、ｚ が全て整数のとき、△ＡＢＣの面積Ｓも整数であることが次のよ
うにして示される。

　題意より、　√（ａ²−ｙ²）＋√（ｃ²−ｙ²）＝ｂ　より、　√（ａ²−ｙ²）＝ｂ−√（ｃ²−ｙ²）

　　両辺を平方して整理すると、　ａ²−ｂ²−ｃ²＝−２ｂ√（ｃ²−ｙ²）

　　さらに、両辺を平方して整理すると、

　　　　ａ⁴＋ｂ⁴＋ｃ⁴−２ａ²ｂ²＋２ｂ²ｃ²−２ｃ²ａ²＝４ｂ²（ｃ²−ｙ²）

　そこで、ａ、ｂ、ｃ の何れもが奇数と仮定すると、上式から、　１≡０　（ｍｏｄ　２）

　これは、矛盾。よって、ａ、ｂ、ｃ のうち少なくとも一つは偶数となる。

　このとき、Ｓ＝ａｘ/２＝ｂｙ/２＝ｃｚ/２　なので、Ｓは整数となる。


　よおすけさんからのコメントです。（平成２６年３月２３日付け）

　本当は、以下の問題は、お茶の間パズルとして初公開する予定でしたが、上記の話題が
公開されたので・・・とりあえず挙げます。

　平面上に、Aが頂角、BCが底辺の△ABCがある。AからBC上へ垂線を引き、その交点を
Dとする。AB=17cm、BD=8cm、AC=113cmのとき、△ABCの面積を求めよ。


（コメント）　僭越ながら、解かせていただきました。

　ＡＤ²＝１７²−８²＝２２５　より、ＡＤ＝１５　なので、ＣＤ²＝１１３²−１５²＝１２５４４

　よって、　ＣＤ＝１１２　より、　△ＡＢＣ＝（８＋１１２）・１５/２＝９００（ｃｍ²）


　ＡＢＣＤＥＦさんからのコメントです。（平成２６年３月２４日付け）

　上記の問題は、実質的な計算はしないで(紙と鉛筆なしで)頭の中で考えて証明できます。
使うのは次の２つです。

(a)　有理数ａの２乗が整数なら、ａは整数である。
(b)　整数ａ、ｂ、ｃが、ａ²+ｂ²=ｃ²　を満たすなら、ａ、ｂの少なくとも一方は偶数である。

　(a)は、自明でいいでしょう。(b)は、ａ、ｂともに奇数なら、ａ²+ｂ²≡2 (mod 4)であることから
わかります。

　AからBCに下した垂線の足をHとする。AH=ｘ　ａ、ｂ、ｃは整数だから、余弦定理より、cosB
は有理数、BH=ｃ・cosBも有理数　BH²=AB²-AH²=c²-ｘ² は、整数だから、BHは整数
AH²+BH²=AB² でAH、BH、ABはすべて整数だから、(b)より、AH、BHの少なくとも一方は
偶数。AH=ｘ が偶数の場合は、S=ａｘ/2 は整数。

　AHが奇数のときは、三角形AHCで同様の議論をして、AH、CHの少なくとも一方が偶数と
なる。AHは奇数だから、CHは偶数。a=BH+CH が偶数となり、S=ａｘ/2 は整数。

　Hが辺BC上にあることを前提とした証明になっています。(もとの証明も同じ。ただしAから
ではなくBから垂線を引いているが)Hが辺BCの延長上にあるときは少し変える必要がある。
あるいは最大角をAとすることにすればこのままでいい。

(c)　「整数ａ、ｂ、ｃが、ａ²+ｂ²=ｃ²　を満たすなら、ａ、ｂの少なくとも1つは3の倍数である。」
　　を使えば、Sが３の倍数であることが証明できます。

(d)　「整数ａ、ｂ、ｃが、ａ²+ｂ²=ｃ²　を満たすなら、ａ、ｂ、ｃの少なくとも1つは5の倍数である。」
　　を使えばSが5の倍数であることが証明できます。

　では、「Sは？の倍数である」の？の最善の数は何でしょうか。ａ、ｂ、ｃ、ｘ、ｙ、ｚがすべて
整数というのはかなりきつい条件なので、「？」はかなり大きい数になりそうです。
（そうでもないかもしれません。30ぐらいかな。）


　DD++さんからのコメントです。（平成２６年３月２４日付け）

(e)　「整数ａ、ｂ、ｃが、ａ²+ｂ²=ｃ²　を満たすなら、ａ、ｂの少なくとも1つは4の倍数である。」
　　を使えば、Sが偶数であることも全く同様に示せます。よって、「？」の数字は少なくとも
　　30。

そして、a=20、b=15、c=25、x=15、y=20、z=12、S=150
　　　　　a=156、b=65、c=169、x=65、y=156、z=60、S=5070

という2例が作れ、150と5070の最大公約数は30。よって、「？」の数字は高々30。

　したがって答えは、「30」です。（．．．いい勘してましたね！）


　ＡＢＣＤＥＦさんからのコメントです。（平成２６年３月２４日付け）

　そうですね。確かに「30」ですね。ちょっと勘違いをしていて「？」はかなり大きくなりそうと書
いて電源も消した後で、3、4、5を5倍した三角形と、5、12、13を13倍した三角形を考えれば
「30」を越えられないと気づいて最後の行を付け足しました。

　ところで、３辺が整数である直角三角形はいまだに「3、4、5」と「5、12、13」しか知りません。
特に困ったこともありませんが、ここの常連の人ならもう少し知っておられるのでしょうか。
何か月か前に3番目を覚えたのですがもう忘れました。（→　参考）

　ａ、ｂ、ｃ、ｘ、ｙ、ｚ がすべて整数である三角形の面積の最小値は多分150だと思いますが
これは証明できるでしょうか。


　DD++さんからのコメントです。（平成２６年３月２５日付け）

　３辺が整数である直角三角形の３辺の長さの組は、全て自然数ｍ、ｎを用いて、

　　ｍ²-ｎ²　、２ｍｎ　、ｍ²+ｎ²

で表されます。ｍ、ｎに数字を適当に入れてみていただければよろしいかと．．．。互いに素
なもので面積が小さい方からだと、次は、8、15、17で、その次が、7、24、25になるでしょうか。

　また、垂線の足が辺を分割した時にその左右の長さが整数になることを使えば、三角形の
面積の最小値はすぐかと思います。


　ＡＢＣＤＥＦさんからのコメントです。（平成２６年３月２５日付け）

　もちろん公式は知ってはいますが、代入したりしないで、「知っている＝瞬時に出る」のは
２つしかないという意味です。証明は確かにできそうな気はします。ですが．．．。


　DD++さんからのコメントです。（平成２６年３月２６日付け）

　そういう意味でしたか、失礼しました。だとすると、私は、(3，4，5)、(5，12，13)、(8，15，17)、
(7，24，25)、(9，40，41)までですね。（互いに素で一桁の数が含まれるもの全部。）

　最大角から垂線下ろすと左右がピタゴラス三角形になります。面積150未満のピタゴラス三
角形の集合から直角を挟む辺に共通な長さを持つ組を探すと5組しかありません。残り4つが
条件に合致しないか面積が150より大きいことを具体的な計算をすることで確認して終わり。
……だと思ったのですが、なんか抜けてますかね？


（コメント）　私も、ＡＢＣＤＥＦさん同様、瞬時に出るのは２つまでですね！他は知らなくても、今
　　　　　　までに困ったことはありませんでした．．．ｆ(^^;)。


　ＡＢＣＤＥＦさんからのコメントです。（平成２６年３月２６日付け）

　こちらこそ失礼しました。書き方が不適切でした。そんなにご存知ですか。２個だけという
のは少なすぎるのでしょうね。

　ピタゴラス三角形を２つしか知らない私には思いつかない発想です。実際にやってみまし
た。その前に

　ａ、ｂ、ｃ、ｘ、ｙ、ｚ が整数である三角形は、３辺ａ、ｂ、ｃと面積Sが整数であり、２Ｓがａ、ｂ、
ｃの倍数である三角形である。また、Sは、３０の倍数である。

　面積１５０未満のピタゴラス三角形(及び面積)をすべて書くと、

　A₁(3，4，5：6)、A₂(6，8，10：24)、A₃(9，12，15：54)、A₄(12，16，20：96)
　B₁(5，12，13：30)、B₂(10，24，26：120)、C₁(8，15，17：60)、D₁(7，24，25：84)

　この中から１辺(斜辺以外)を共有する三角形を２つ合わせて、面積が３０の倍数になるも
のを作ると(使う三角形，共通辺，できた三角形の順)

　　B₁+B₁ ，  5 ， （13，13，24：60)
　　B₁+B₁ ， 12 ， (10，13，13：60)
　　C₁+C₁ ，  8 ， (17，17，30：120)
　　C₁+C₁ ， 15 ， (16，17，17：120)
　　A₃+A₄ ， 12 ， (15，20，25：150)

　上の４つは、「２Sが、ａ、ｂ、ｃの倍数である」を満たしていない。従って、(15，20，25：150)が
面積最小であり、最小値は150　・・・　確かにできました。

　ａ、ｂ、ｃ、ｘ、ｙ、ｚ が整数である三角形を、200≧a≧b≧c＞0　の範囲で探してみました。
いい加減なプログラムなので間違いがあるかもしれません。

 ａ　ｂ　ｃ　ｘ　ｙ　ｚ　 Ｓ GCD(abc) GCD(xyz)
 25  20  15  12  15  20   150　  5　　  1
 30  25  25  20  24  24   300　  5　　  4
 40  25  25  15  24  24   300　  5　　  3
 50  40  30  24  30  40   600　 10　　  2
 60  50  50  40  48  48  1200　 10　　  8
 75  60  45  36  45  60  1350　 15　　  3
 80  50  50  30  48  48  1200　 10　　  6
 90  75  75  60  72  72  2700　 15　　 12
100  75  35  21  28  60  1050　  5　　  1
100  80  60  48  60  80  2400　 20　　  4
120  75  75  45  72  72  2700　 15　　  9
120 100 100  80  96  96  4800　 20　　 16
125 100  75  60  75 100  3750　 25　　  5
150 120  90  72  90 120  5400　 30　　  6
150 125 125 100 120 120  7500　 25　　 20
160 100 100  60  96  96  4800　 20　　 12
169 156  65  60  65 156  5070　 13　　  1
169 169 130 120 120 156 10140　 13　　 12
175 140 105  84 105 140  7350　 35　　  7
180 150 150 120 144 144 10800　 30　　 24
200 125 125  75 120 120  7500　 25　　 15
200 150  70  42  56 120  4200　 10　　  2
200 160 120  96 120 160  9600　 40　　  8

　ａ、ｂ、ｃの最大公約数GCD(a,b,c)は1ではないようです。これは証明できるでしょうか。