・ 見かけは悪いが美しい数 Ｓ．Ｈ氏
例えば一般の３次方程式や４次方程式を、解の公式に従って解くと、答に平方根、立方根、
２重根号などが入り乱れて、「汚いな〜」という経験をされた方は多いと思う。しかし、ある工
夫をすると、手品のように、我々が知っている身近な数になる場合もある。
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の値は、実は、−９ に等しい。 |
上記のことをすぐに信用する人は多分いないだろう。しかし、「伊東家の食卓」のお父さん
風にいえば、「なるものはなる！」である。実際に、確かめてみよう。
（解） α＝
とおくと、α2＝
なので、 分子 ＝ (１−α＋α2)3
いま、Ｘ＝ １−α＋α2 とおくと、αＸ＝α−α2＋２ ＝ α−（Ｘ−１＋α）＋２＝３−Ｘ
さらに、Ｘ2 ＝ (１−α＋α2)2 ＝ ３(α2−１) なので、Ｘ4 ＝ ９(α2−１)2 ＝ ９（３−２Ｘ）
ここで、（分母）・Ｘ ＝ （１−α）Ｘ ＝ Ｘ−αＸ ＝ ２Ｘ−３
したがって、 与式 ＝ −９ （終）
このような計算技法は、「私の備忘録」の中の裏技の記録 『関数の値』 においても
活用された。
（別解） (１＋α)(１−α＋α2) ＝ １＋α3 ＝ ３ であることを用いれば、もっと楽に求め
ることが出来る。
このとき、 (１＋α)3（１−α） ＝ (１＋α)2（１−α2）
＝ (１＋２α＋α2)（１−α2）
＝１−２α3＝−３
なので、
与式 ＝ ２７/（−３） ＝ −９ （終）
（参考文献：１９９５年度日本数学オリンピック 国内予選問題）
上記の問題について、当ＨＰがいつもお世話になっているＳ（Ｈ）さんが多項式論からのア
プローチを試みられた。（平成２１年２月８日付け）
（解） α＝１− とおくと、 （α−１）3＝−２ より、 α3−３α2＋３α＋１＝０
このことから、多項式 Ｆ（ｘ）＝ｘ3−３ｘ2＋３ｘ＋１ は、α の最小多項式である。
このとき、 Ｆ（ｘ）＋（−ｘ2＋３ｘ−３）ｘ＝１ であるので、有理数体Ｑに α を添加した体
Ｑ（α）＝Ｑ［ｘ］/（Ｆ（ｘ）Ｑ［ｘ］） において、 １/α＝−α2＋３α−３ が成り立つ。
すなわち、 １/α＝−（１−）2＋３（１−）−３＝−１−−
したがって、 与式＝（１−＋）3（−１−−）
＝−（１−＋）2（１−＋）（１＋＋）
＝−（１−＋）2｛（１＋）2−）
＝３（１−）（１＋＋２）
＝３（１−４）＝−９ （終）
（コメント） 次のように計算してもいいかも．．．と思って計算したら意外に大変だった！
与式＝（１−α＋α2）3（−α2＋３α−３）
＝（１−α＋α2）2｛（１−α＋α2）（−α2＋３α−３）｝
＝（α4−２α3＋３α2−２α＋１）（−α4＋４α3−７α2＋６αー３）
＝（α3−３α＋１）（α3−４α2＋７α−３）
＝３α（α−２）（−α2＋４α−４）
＝−３α（α3−６α2＋１２α−８）
＝−３α（−３α2＋９α−９）
＝９（α3−３α2＋３α）
＝−９
（追記） 平成２１年２月７日付け
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の値は、実は、２ に等しい。 |
そんな問題が、東京理科大学（平成２１年度）で出題された。
一応正解をなぞっておこう。
、 
とおくと、明らかに、 αβ＝２ である。
また、
α3−β3＝（α−β）3＋３αβ（α−β）＝（α−β）3＋６（α−β）＝２０
において、 ｘ＝α−β とおくと、 ｘ3＋６ｘ−２０＝０ となる。
このとき、 （ｘ−２）（ｘ2＋２ｘ＋１０）＝０ において、 ｘ2＋２ｘ＋１０＝０ は実数解を持た
ないので、 ｘ＝２ となる。 すなわち、
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＝２ |
冒頭の問題の出典は定かではないが、東京理科大学の問題は明らかに３次方程式の解
法を意識した問題であることが伺える。
実際に、 ３次方程式 ｘ3＋ａｘ＋ｂ＝０ を解くには、 ｕ 、ｖ についての方程式
（ｕ−ｖ）3＋ａ（ｕ−ｖ）＋ｂ＝０
を満たす一組の解を見つければよい。
（ｕ−ｖ）3＝ｕ3−３ｕ2ｖ＋３ｕｖ2−ｖ3＝ｕ3−ｖ3−３ｕｖ（ｕ＋ｖ）
なので、 ｕ3−ｖ3＋（−３ｕｖ＋ａ）（ｕ＋ｖ）＋ｂ＝０ となる。
そこで、 ｕ3−ｖ3＝−ｂ 、 ｕｖ＝ａ/３ となる ｕ 、ｖ を求めればよい。
ｕ3 、−ｖ3 は、２次方程式 ｔ2＋ｂｔ−ａ3/２７＝０ の解となる。
これと先の結果を合わせると、 α3 、−β3 は、２次方程式
ｔ2−２０ｔ−８＝０
の解となる。逆に考えれば、 α−β は、３次方程式 ｘ3＋６ｘ−２０＝０ の解の一つとな
る。
