・　牛歩のごとく　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｓ．Ｈ氏

　私の通う病院の待合室の電光掲示板には、ニュースの合間に、ウサギと亀の物語がアニメー
ションで流れる。亀のあまりに遅い歩みに油断したウサギが、居眠りをして、ついには亀に追い
抜かされ競走に負けてしまうという例の話である。
　この話を眺めていると、数学にも似たような関数があることに気がつく。あまりに遅い増加の割
合で、本当に、亀のような、歩みののろい関数である。

　Ｐ(ｎ) ： ｎ の素因数分解で、異なる素数の数　　　とする。

例　
　Ｐ(２)＝１、Ｐ(４)＝１、Ｐ(６)＝２、Ｐ(８)＝１、Ｐ(１０)＝２、Ｐ(１２)＝２、Ｐ(３０)＝３、Ｐ(２１０)＝２

　自然数の素因数分解を求めるには、表計算ソフトの　Ｅｘｃｅｌ　のマクロを活用して、次のように
すればよい。
　Ｅｘｃｅｌ　を起動し、[ツール]−[マクロ]−[Ｖｉｓｕａｌ　Ｂａｓｉｃ　Ｅｄｉｔｏｒ]　とクリックして　Ｅｄｉｔｏｒ
を起動し、[挿入]−[標準モジュール]　を選択して、下記を記述する。後は、Ｅｘｃｅｌ　の任意のセ
ルに、例えば、　＝Ｂ（１０）　と打ち込むと、瞬時に、１０ の素因数分解が得られる。

Function B(n, d)
If n < d * d Then
B = n
Else
If n - Int(n / d) * d = 0 Then
B = d & "×" & B(n / d, d)
Else
B = B(n, d + 1)
End If
End If
End Function

　そこで、
　　　　　　関数 Ｍ(ｎ) ： １から ｎ までの Ｐ(ｎ） の平均値
を考える。
　関数　Ｐ(ｎ)　は、不規則に変化しながらも、ｎ の値が増加するのにあわせて、だんだんと、そ
のとりうる値も増加する。したがって、その間の平均値である Ｍ(ｎ) の値もだんだんと増加する。
しかし、その増加する速さは、ｎ の増加する速さと比べて、驚くほど遅い。　

　上の表によると、５００より小さな数を素因数分解するとき、大体は、２つの異なる素数を用い
て分解されるということである。ものの本によれば、
　　Ｍ(１００００００００)≒２．９
　ｎ＝１０¹⁰⁰　（グーゴルといわれる数。こちらを参照）というとてつもなく大きな数に対してでも、
　　Ｍ(ｎ)≒５．４
なので、その増加する速さがいかに遅いか、実感できよう。

（参考文献：Ｍ．ラインズ　著　片山孝次　訳　数　その不思議なふるまい（岩波書店））