・加法定理２　　　 　　 　　 　　　 　 　 　　 　 　よおすけ氏

　正接の加法定理で、α+βの正接の式と言えば、たいてい、

　　ｔａｎ(α＋β)＝（ｔａｎα＋ｔａｎβ）/（１−ｔａｎαｔａｎβ）

でしょう。なお、以下の式も成り立ちます。

　　ｔａｎ(α＋β)＝（ｓｉｎαｃｏｓα＋ｓｉｎβｃｏｓβ）/（ｃｏｓ²α−ｓｉｎ²β）


（コメント）　上記の式は初見ですね！左辺−右辺を計算しても示されますが、それでは、式
　　　　　　の成り立ちが不明になるので、左辺からの式変形を試みました。

　左辺＝ｔａｎ(α＋β)＝ｓｉｎ(α＋β)/ｃｏｓ(α＋β)
　　　 ＝｛ｓｉｎ(α＋β)ｃｏｓ(α−β)｝/｛ｃｏｓ(α＋β)ｃｏｓ(α−β)｝

　ここで、積和の公式と倍角の公式より、

分子＝ｓｉｎ(α＋β)ｃｏｓ(α−β)＝（1/2）（ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β）＝ｓｉｎαｃｏｓα＋ｓｉｎβｃｏｓβ

分母＝ｃｏｓ(α＋β)ｃｏｓ(α−β)＝（1/2）（ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ２β）＝ｃｏｓ²α−ｓｉｎ²β

　よって、　ｔａｎ(α＋β)＝（ｓｉｎαｃｏｓα＋ｓｉｎβｃｏｓβ）/（ｃｏｓ²α−ｓｉｎ²β）　が成り立つ。


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２５年１０月４日付け）

　ｔａｎπ/18＝ｔａｎπ/9・ｔａｎπ/6・ｔａｎ2π/9　を証明せよという問題があります。ラジアンを
度に変換すれば証明できますが、どちらの加法定理を使い証明されますか？


　攻略法さんからのコメントです。（平成２５年１０月７日付け）

　この問題は、「角の大きさ」で既に示されていますが、ここでは、正接の３倍角の公式を用
いて示したいと思います。　

　ｔａｎπ/18＝ｔａｎπ/9・ｔａｎπ/6・ｔａｎ2π/9　で、ラジアンを度に直して、

　　　　tan20°tan30°tan40°= tan10°

を示します。

　tan20°tan40°=tan(30°-10°)tan(30°+10°)

={ (tan30°-tan10°)/(1+tan30°tan10°) }{ (tan30°+tan10°)/(1-tan30°tan10°) }

={ tan²30°-tan²10°}/{ 1-tan²30°tan²10°}

={ 1/3-tan²10°}/{ 1-(1/3)tan²10°}={ 1-3tan²10°}/{ 3-tan²10°}

　ここで、正接の３倍角の公式：　ｔａｎ３θ＝（３ｔａｎθ−ｔａｎ³θ）/（１−３ｔａｎ²θ）　より、

　tan30°={ 3tan10°-tan³10°}/{ 1-3tan²10°}=tan10°{ 3-tan²10°}/{ 1-3tan²10°}

なので、　tan20°tan40°=tan10°/tan30°

　すなわち、　tan20°tan30°tan40°= tan10°が成り立つ。


（コメント）　なるほど、綺麗な証明ですね！攻略法さんに感謝します。


　攻略法さんによれば、次の公式が成り立つとのことである。

（３倍角の公式）　　tan(3α)=tan(60°-α)tan(α)tan(60°+α)

　類似の公式はたくさん作られます。

類題　　tan10°= tan20°tan30°tan40°より、

　　　　　　(1/tan40°)(1/tan30°)(1/tan20°) = (1/tan10°)

　　　よって、　tan50°tan60°tan70°= tan80°

類題　　tan10°tan50°tan60°tan70°= tan20°tan30°tan40°tan80°= 1

類題　　tan10°tan20°tan30°tan40°tan50°tan60°tan70°tan80°= 1

（参考）　Π_k=1〜n-1 tan(πk/(2n)) = 1


（コメント）　美しい関係式ですね！感動ものです。