・リュカ≒フィボナッチ≒ピタゴラス 　 　 　 　 　 　タナカ氏

　数学に関する研究を投稿してみます。タイトルで触れているフィボナッチ数列をご存知の方
は多いと思いますが、それぞれ１つの項だけについてはフィボナッチ数と呼びます。
（当ＨＰの掲示板「出会いの泉」（平成２５年４月１３日付け）からの転載です。）

　そしてフィボナッチ数にはその数自身よりも小さくて異なる２つのフィボナッチ数を平方した
数の和または差で表せるという面白い性質があります。
（→　参考：「フィボナッチ数を極める」の中の（性質７）、（性質１５））

　とりあえず第１項から第13項まで示します。第０項の０については省略します。

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，・・・

1²，1²，1²+1²，2²-1²，1²+2²，3²-1²，2²+3²，5²-2²，3²+5²，8²-3²，5²+8²，13²-5²，8²+13²，・・・

　ここからの作業が重要なんですが、フィボナッチ数の平方数をそれぞれフィボナッチ数にし
て新たな数列を作ります。そうすると興味深い性質が浮かび上がってくるんです。

　　1，1，1+1，2-1，1+2，3-1，2+3，5-2，3+5，8-3，5+8，13-5，8+13，・・・

すなわち

　　1，1，2，1，3，2，5，3，8，5，13，8，21，・・・

　この数列の第２項から偶数の項だけを取り出すと、フィボナッチ数列になっています。そし
て第１項から奇数の項についても、第１項を除くフィボナッチ数列となります。

　この作業をもう１回繰り返してみます。

1²，1²，1²+1²，1²，2²-1²，1²+1²，1²+2²，2²-1²，3²-1²，1²+2²，2²+3²，3²-1²，5²-2²，・・・

すなわち

1，1，2，1，1，2，3，1，2，3，5，2，3，...

　この数列も１つおきの項を取り出すと、１つ前の数列にさかのぼります。

　もう１回この作業を繰り返します。

1²，1²，1²+1²，1²，1²，1²+1²，2²-1²，1²，1²+1²，2²-1²，1²+2²，1²+1²，2²-1²，・・・

すなわち

1，1，2，1，1，2，1，1，2，1，3，2，1，...

　ひとまず３回の作業を第13項まで説明しましたが、実際には５回の作業を第67項まで繰り
返すことを試みて確認済みです。ここでは過程を省いて結果として生まれる数列のみを発表
します。ついでに７桁までのフィボナッチ数を平方した数も列挙しましょう。

1,1,2,1,3,2,5,3,8,5,13,8,21,13,34,21,55,34,89,55,144,89,233,144,377,233,610,377,987,610,1597,
987,2584,1597,4181,2584,6765,4181,10946,6765,17711,10946,28657,17711,46368,28657,
75025,46368,121393,75025,196418,121393,317811,196418,514229,317811,832040,514229,
1346269,832040,2178309,1346269,3524578,2178309,5702887,3524578,9227465,・・・

1,1,2,1,1,2,3,1,2,3,5,2,3,5,8,3,5,8,13,5,8,13,21,8,13,21,34,13,21,34,55,21,34,55,89,34,55,89,144,
55,89,144,233,89,144,233,377,144,233,377,610,233,377,610,987,377,610,987,1597,610,987,
1597,2584,987,1597,2584,4181,・・・

1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,5,3,2,5,3,2,5,3,8,5,3,8,5,3,8,5,13,8,5,13,8,5,13,8,21,13,8,21,13,8,
21,13,34,21,13,34,21,13,34,21,55,34,21,55,34,21,55,34,89,・・・

1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,5,2,3,5,2,3,5,2,3,5,2,3,5,2,3,5,8,3,5,
8,3,5,8,3,5,8,3,5,8,3,5,8,13,・・・

1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,
2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,5,・・・

1²=1²=1　2²=4　3²=9　5²=25　8²=64　13²=169　21²=441　34²=1156　55²=3025　89²=7921
144²=20736　233²=54289　377²=142129　610²=372100　987²=974169　1597²=2550409
2584²=6677056　4181²=17480761　6765²=45765225　10946²=119814916　17711²=313679521
28657²=821223649　46368²=2149991424　75025²=5628750625　121393²=14736260449
196418²=38580030724　317811²=101003831721　514229²=264431464441
832040²=692290561600　1346269²=1812440220361　2178309²=4745030099481
3524578²=12422650078084　5702887²=32522920134769　9227465²=85146110326225

　ご覧のとおり、２回め以降の数列については隣りあう３項がセットで一定の周期を持つと考
えられます。それから２回目の数列は、第４項から第７項まで、第８項から第11項までと４項
ごとに区切ると、フィボナッチ数列の一部分であると言えそうです。

　実はまったく逆の作業を繰り返すことも可能です。その場合はフィボナッチ数列だけでなく、
リュカ数列についても１回かぎりで新たな数列を作ることができます。とりあえず第17項まで
のフィボナッチ数列およびリュカ数列を示します。

　　1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，・・・

　　2，1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322，521，843，1364，2207，・・・

　それぞれの数列を、２つのフィボナッチ数と２つのリュカ数で表される式にするわけですが、
和で表す場合と差で表す場合の２通りあるので、１つの数列につき新たに２つの数列が生み
だされることになります。まずは平方数の和による数列から載せてみます。

　1,1,2,5,13,34,89,233,610,1597,4181,10946,28657,75025,196418,514229,1346269,・・・

　4,1,5,10,25,65,170,445,1165,3050,7985,20905,54730,143285,375125,982090,2571145,・・・

　1,3,8,21,55,144,377,987,2584,6765,17711,46368,121393,317811,832040,2178309,5702887,・・・

　4,5,15,40,105,275,720,1885,4935,12920,33825,88555,231840,606965,1589055,4160200,10891545,・・・

2²=4　1²=1　3²=9　4²=16　7²=49　11²=121　18²=324　29²=841　47²=2209　76²=5776
123²=15129　199²=39601　322²=103684　521²=271441　843²=710649　1364²=1860496
2207²=4870849　3571²=12752041　5778²=33385284　9349²=87403801　15127²=228826129
24476²=599074576　39603²=1568397609　64079²=4106118241

　続けて平方数の差による数列と、参考までに５桁までのリュカ数を平方した数を記載しまし
た。これらの数列のうち、フィボナッチ数列から作られる数列は、平方の和による数列がもと
の数列の奇数項、平方の差による数列が偶数項のみが並んでいることが推察されます。そ
れから、リュカ数列から作られる数列には、平方の和では第３項以降、平方の差では第２項
以降にフィボナッチ数を５倍した数が交互に現れるという性質がありそうです。


（追記）　平成２６年１月８日付け

　　　参考１　、参考２