ナポレオンとはあの有名なナポレオン・ボナパルト（1769〜1821）のことである。大変興味
ある定理を残している。
任意の三角形の外部に出来る正三角形の重心を結ぶ三角形は正三角形
証明は、Ｗｅｂサイトを検索すれば、容易に確認できる。
複素数（６０°回転の複素数 ω（１の３乗根））や、正弦・余弦定理を用いた証明が知られ
ているようである。私的には、正弦・余弦定理を用いて、３辺の長さが等しいことを示す方法
が好きかな？
ＫＳさんより、関連する話題をメールで頂いた。（平成２６年１２月１０日付け）
元の三角形の外側に作る正三角形の重心を結んでできる正三角形を外正三角形とよび、
元の三角形の内側に作る正三角形の重心結んでできる正三角形を内正三角形とよぶ。
このとき、
外正三角形の面積―内正三角形の面積＝△ＡＢＣの面積
が成り立つ。
（証明） 一つの頂点を原点において他点を第一象限におく。複素平面を使って示す。
Ａ（０，０）、Ｂ（ｘ1，ｙ1）、Ｃ（ｘ2，ｙ2） （ｘ2＞ｘ1、ｙ1＞ｙ2） とし、△ＡＢＣの面積をＳとすると、
Ｓ＝(1/2）| ｘ1ｙ2−ｘ2ｙ1 |＝(1/2）（ｘ2ｙ1−ｘ1ｙ2）
である。（→ 参考：「三角形の面積の公式」）
ここで、
ｚ1＝ｘ1＋ｉ・ｙ1、ｚ2＝ｘ2＋ｉ・ｙ2、θ＝ｃｏｓ３０°＋ｉ・ｓｉｎ３０°、θ~＝ｃｏｓ３０°−ｉ・ｓｉｎ３０°
とすると、外正三角形の２頂点は、 ｗ1＝（１/
）ｚ1θ、ｗ2＝（１/）ｚ2θ~ となり、その面積は、 Ｓ外＝（
/４）| ｗ1−ｗ2 |2 である。同様にして、内正三角形の２頂点は、 ｗ1’＝（１/
）ｚ1θ~、ｗ2’＝（１/）ｚ2θ となり、その面積は、 Ｓ内＝（
/４）| ｗ1’−ｗ2’ |2 である。ここで、
| ｗ1−ｗ2 |2−| ｗ1’−ｗ2’ |2
＝| （１/
）ｚ1θ−（１/）ｚ2θ~ |2−| （１/）ｚ1θ~−（１/）ｚ2θ |2＝（１/３）｛（ｚ1θ−ｚ2θ~）（ｚ1~θ~−ｚ2~θ）−（ｚ1θ~−ｚ2θ）（ｚ1~θ−ｚ2~θ~）｝
＝（１/３）（ｚ1ｚ2~−ｚ1~ｚ2）（θ~2−θ2）
＝（１/３）・２ｉ（ｘ2ｙ1−ｘ1ｙ2）・（−
ｉ）＝（２/）（ｘ2ｙ1−ｘ1ｙ2）よって、Ｓ外−Ｓ内＝（
/４）（２/）（ｘ2ｙ1−ｘ1ｙ2）＝(1/2）（ｘ2ｙ1−ｘ1ｙ2）＝Ｓ （証終）