・方程式 よおすけ 氏
方程式 2x3−3x+1=0 において、左辺をP(x)とする。因数定理を用いて、
P(1)=2−3+1=0 となるので、P(x)は、x−1で割り切れる。
実際に、P(x)を x−1 で割れば、商は、2x2+2x−1となるので、この方程式は、
(x−1)(2x2+2x−1)=0 となり、解は、 1 、 (−1±)/2
もう1つ、別な解法があります。
この方程式は、 x3−(3/2)x+(1/2)=0 と変形できるので、
x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)
を利用します。係数を比較すると、 −3yz=−(3/2) 、 y3+z3=1/2
となるので、あとはこれらを解きます。
(コメント) よおすけさんの趣旨を生かして計算を続けます。
z=1/(2y) を、y3+z3=1/2 に代入して整理すると、 8(y3)2−4y3+1=0
よって、 y3=(2±2i)/8 より、 y={(2±2i)1/3}/2
これから、 x=−y−z=−{(2+2i)1/3+(2−2i)1/3}/2 等が分かるのですが、長
くなりそう...。 「これも整数?」と同様にして、
α={(2+2i)1/3}/2 、β={(2−2i)1/3}/2 とおくと、
α3+β3=(2+2i+2−2i)/8=1/2 で、 αβ=1/2 なので、
α3+β3=(α+β)3−3αβ(α+β) より、
(α+β)3−(3/2)(α+β)=1/2 すなわち、 2(α+β)3−3(α+β)−1=0
すなわち、 α+β=t とおくと、 2t3−3t−1=0 より、 (t+1)(2t2−2t−1)=0
よって、 t=−1 、 (1±)/2
これより、 x=−t=1 、 (−1±)/2
(コメント) よおすけさんのアイデアには無理があるような...予感?
(追記) 平成24年2月21日付け
冒頭の方程式は、とりあえず因数定理を用いた解答を書いて、第2の解答の方は夜遅か
ったということもあり、後回しにしていました。2ヶ月してアップされるまで、すっかり忘れてい
ました。
実は、第2の解答の方は、-3yz=-3/2 を変形し、z=1/(2y) として、y3+z3=1/2 に代入し
て、解く予定でした。これを整理すれば、 8(y3)2-4y3+1=0 なので、
y3=(2±2i)/8=2(cos(π/4)±i・sin(π/4))/8
より、右辺の3乗根は、
y = (/2)(cos{(π/4+2kπ)/3}+i・sin{(π/4+2kπ)/3}) ただし、k=0、1、2
これから、
k=0 のとき、 y=(/2)(cos(π/12)+i・sin(π/12))
k=1 のとき、 y=(/2)(cos(3π/4)+i・sin(3π/4))
k=2 のとき、 y=(/2)(cos(17π/12)+i・sin(17π/12))
いずれを用いても同じ答えが得られるので、ここでは、
y=(/2)(cos(π/12)+i・sin(π/12))
を使います。すると、z=1/(2y) より、 z=(/2)(cos(-π/12)+i・sin(-π/12))
これから、 x=-y-z 、-yω-zω2 、-yω2-zω
代入すれば、順番に以下の値を得る。
x=-cos(π/12)=-(1+)/(2)=(-1-)/2
x=-cos(3π/4)=1
x=-cos(7π/12)=sin(π/12)=(-1+)/2
確かに、この方程式なら因数定理を用いた方が速いですね。この解法は、「青空学園数学
科の数学対話『三次方程式』の虚数の意義」のページを参考にしています。そのサイトは、こ
この私的数学塾と同じく、数学博物館で紹介されています。