・方程式 　 　　　　 　　 　　 　 　　 　　　 　　　よおすけ 氏

　方程式　２ｘ³−３ｘ＋１＝０　において、左辺をP(ｘ)とする。因数定理を用いて、

　P(1)＝２−３＋１＝０　となるので、P(ｘ)は、ｘ−１で割り切れる。

　実際に、P(ｘ)を ｘ−１ で割れば、商は、２ｘ²＋２ｘ−１となるので、この方程式は、

　　（ｘ−１）（２ｘ²＋２ｘ−１）＝０　となり、解は、　１　、　(−１±)/２


　もう１つ、別な解法があります。

　この方程式は、　ｘ³−(３/２)ｘ＋(１/２)＝０　と変形できるので、

　　ｘ³＋ｙ³＋ｚ³−３ｘｙｚ＝(ｘ＋ｙ＋ｚ)(ｘ²＋ｙ²＋ｚ²−ｘｙ−ｙｚ−ｚｘ)

を利用します。係数を比較すると、　−３ｙｚ＝−(３/２)　、　ｙ³＋ｚ³＝１/２

となるので、あとはこれらを解きます。


（コメント）　よおすけさんの趣旨を生かして計算を続けます。

　ｚ＝１/（２ｙ）　を、ｙ³＋ｚ³＝１/２　に代入して整理すると、　８（ｙ³）²−４ｙ³＋１＝０

　よって、　ｙ³＝（２±２ｉ）/８　より、　ｙ＝｛（２±２ｉ）^1/3｝/２

　これから、　ｘ＝−ｙ−ｚ＝−｛（２＋２ｉ）^1/3＋（２−２ｉ）^1/3｝/２　等が分かるのですが、長

くなりそう．．．。　「これも整数？」と同様にして、

　α＝｛（２＋２ｉ）^1/3｝/２　、β＝｛（２−２ｉ）^1/3｝/２　とおくと、

　　α³＋β³＝（２＋２ｉ＋２−２ｉ）/８＝１/２　で、　αβ＝１/２　なので、

　　α³＋β³＝（α＋β）³−３αβ（α＋β）　より、

　（α＋β）³−（３/２）（α＋β）＝１/２　すなわち、　２（α＋β）³−３（α＋β）−１＝０

　すなわち、　α＋β＝ｔ　とおくと、　２ｔ³−３ｔ−１＝０　より、　（ｔ＋１）（２ｔ²−２ｔ−１）＝０

　　よって、　ｔ＝−１　、　（１±）/２

　これより、　ｘ＝−ｔ＝１　、　(−１±)/２


（コメント）　よおすけさんのアイデアには無理があるような．．．予感？


（追記）　平成２４年２月２１日付け

　冒頭の方程式は、とりあえず因数定理を用いた解答を書いて、第２の解答の方は夜遅か
ったということもあり、後回しにしていました。２ヶ月してアップされるまで、すっかり忘れてい
ました。

　実は、第２の解答の方は、-3yz=-3/2 を変形し、z=1/(2y) として、ｙ³＋ｚ³＝1/2　に代入し
て、解く予定でした。これを整理すれば、 8（ｙ³）²-4ｙ³+1=0 なので、

　　　ｙ³=(2±2i)/8=2(cos(π/4)±i・sin(π/4))/8

より、右辺の3乗根は、

　　ｙ = (/2)(cos｛(π/4＋2kπ)/3｝+i・sin｛(π/4+2kπ)/3｝)　　ただし、k=0、1、2

　これから、

　　k=0　のとき、　ｙ=(/2)(cos(π/12)+i・sin(π/12))

　　k=1　のとき、　ｙ=(/2)(cos(3π/4)+i・sin(3π/4))

　　k=2　のとき、　ｙ=(/2)(cos(17π/12)+i・sin(17π/12))

　いずれを用いても同じ答えが得られるので、ここでは、

　　　　y=(/2)(cos(π/12)+i・sin(π/12))

を使います。すると、z=1/(2y) より、　z=(/2)(cos(-π/12)+i・sin(-π/12))

　これから、　ｘ=-ｙ-ｚ　、-ｙω-ｚω²　、-ｙω²-ｚω

代入すれば、順番に以下の値を得る。

　ｘ=-cos(π/12)=-(1+)/(2)=(-1-)/2

　ｘ=-cos(3π/4)=1

　ｘ=-cos(7π/12)=sin(π/12)=(-1+)/2


　確かに、この方程式なら因数定理を用いた方が速いですね。この解法は、「青空学園数学
科の数学対話『三次方程式』の虚数の意義」のページを参考にしています。そのサイトは、こ
この私的数学塾と同じく、数学博物館で紹介されています。