・広義積分 よおすけ 氏
| 定積分 | |
の値を求めよ。（早い方なら一瞬で答えられる・・・かも。） |
答えは、「０」ですが、広義積分でも偶関数・奇関数の関係が使えるのか試してみました。
空舟さんからのコメントです。（平成２４年１月２６日付け）
例えば、奇関数だからといって、∫-∞∞ｘ3ｄｘ のような積分は、「0」というのは違和感があ
りますし、実際、0 に収束するとは言いません。無限級数 Σ(-1)n が発散する扱いなのと似
ています。
ある関数が、(-∞，∞)での広義積分が収束する（値を持つ）というには、(-∞，0]での広義
積分と[0，∞)での広義積分が共に収束することが必要十分です。
収束する場合、奇関数の場合にはもちろん 0 に収束すると言うことになります。具体的に
どのような関数の場合に収束あるいは発散するのか、これは本質的で重要なことであるの
でぜひ考察してみてください。
よおすけさんからのコメントです。（平成２４年１月２６日付け）
今回の問題は、置換積分ができれば、高校範囲の定積分に変われるから、そこまで考え
たことはなかった．．．。
実際は、今回の場合だと、ｘ/(ｘ2+1)2 が連続のときは、
∫-∞∞ ｘ/(ｘ2+1)2ｄｘ=∫0∞ ｘ/(ｘ2+1)2ｄｘ+∫-∞0 ｘ/(ｘ2+1)2ｄｘ
で、さらに、
limL→∞∫0L ｘ/(ｘ2+1)2ｄｘ+limM→-∞∫-∞0 ｘ/(ｘ2+1)2ｄｘ
と計算します。テキストの書き方が間違っているかも．．．。
空舟さんからのコメントです。（平成２４年１月２７日付け）
その考えで合っています！そこで、関数 f(ｘ) の取り方によって、limL→∞∫0L f(ｘ)ｄｘ
が収束する場合と収束しない場合があるということです。（∫-∞∞ ｘ/(ｘ2+1)ｄｘ の場合は？）
実は、∫1/ｘ ｄｘ が発散と収束の境界 です！
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ｘ→∞ の時に、f(ｘ)が、1/ｘ より速く0に収束する場合 ∫1∞ f(ｘ)ｄｘ は収束
ｘ→+0 の時に、f(x)が、1/ｘ より遅く∞に発散する場合 ∫01 f(ｘ)ｄｘ は収束
もし、よくわからないならば、具体的な例でぜひ考察願います。「数学演習」にある14.広義
積分の(1)(2)等の判定は瞬時にできるでしょう。
sinｘ、cosｘ、tanｘ、eｘ、log ｘ 等を含む式の収束の速さについては、テイラー展開、ランダウ
の記号を知ってみると、直感で感じていたことがこんな風に厳密に表現できるのか、と。
以前やった広義積分の講義の練習問題を見てみると、「tanｘ の-π/2からπ/2までの広
義積分は収束するか」という問題を見つけました。いかにも有りがちな問題ですが、収束判
定はそれほど自明ではなさそうに見えましたが、1/tanｘ の0付近での発散の速さを見れば
良いと気づけば、1/ｘ と同程度の速さなので、答えは発散とすぐ分かります。
（コメント） （ε，ｎ）における ｔａｎｘ の定積分は、ｌｏｇ（ｃｏｓε）−ｌｏｇ｜ｃｏｓｎ｜である。
ε→+0 の時に、ｌｏｇ（ｃｏｓε）→ｌｏｇ（１）＝０ だが、ｎ→∞
の時に、ｌｏｇ｜ｃｏｓｎ｜
は確かに収束しなさそう．．．。
よおすけさんからのコメントです。（平成２４年１月２７日付け）
当初用意していた解答はこれです。 ｘ=ｔａｎθ とおくと、 ｄｘ/ｄθ=1/cos2θ
積分範囲は、ｘ ： -∞→∞ より、θ ： -π/2→π/2 で、1/cos2θ＝ｔａｎ2θ+1 より、
ｘ/(ｘ2+1)2ｄｘ＝ｔａｎθ・ｃｏｓ4θ・1/ｃｏｓ2θ・ｄθ＝ｓｉｎθｃｏｓθｄθ＝（1/2）ｓｉｎ2θｄθ
よって、求める積分値は、 （-1/4）（ｃｏｓπ−ｃｏｓπ）＝０
（※） この問題のように、適当に置換すると、広義積分が普通の定積分に変わることがあ
ります。
（コメント） 「普通の定積分」のように見えますが、実質はやはり「広義積分」ですよね！
空舟さんからのコメントです。（平成２４年２月７日付け）
積分区間が、-π/2からπ/2なので、（正確には-π/2+0からπ/2-0と書く所でした。）
n→∞ で、log|cosn| は収束しません。
∫0π/2 tanθ ｄθ=∫0π/2 1/tanｘ ｄｘ （置換：θ＝π/2−ｘ）
ここで、1/tanｘ が、1/ｘ と同程度云々というのは、厳密に利用するなら、例えば、区間
(0，π/4)で、tanｘ≦4ｘ/π、つまり、1/tanｘ≧π/（4ｘ） 等とすれば、
∫0π/4 1/tanｘ ｄｘ ≧∫0π/4 π/(4ｘ) ｄｘ＝+∞
という風に評価できるということです。
