・３次方程式の解２　　　　　　　　　　　 　　　 よおすけ 氏

　方程式 ｘ³-3ｘ+2=0 を、「因数分解」の裏技の式を利用して解いてみます。

　まず、ｘ³=1 を満たす ｘ の値は、1 と (-1±i)/2 で、このうち、(-1+i)/2=ω とすると、

もう1方は、ω² となる。このとき、ωの性質から、ω³=1、ω²+ω+1=0

　「因数分解」の裏技の式を、1次式に更に分解すれば、

　　ｘ³+ｙ³+ｚ³-３ｘｙｚ=（ｘ+ｙ+ｚ）（ｘ²+ｙ²+ｚ²-ｘｙ-ｙｚ-ｚｘ）=(ｘ+ｙ+ｚ)(ｘ+ｙω²+ｚω)(ｘ+ｙω+ｚω²)

　ここで、　ｙｚ=1、ｙ³+ｚ³=2　を満たす ｙ、ｚ を用いて、　ｘ³-3ｘ+2=ｘ³+ｙ³+ｚ³-３ｘｙｚ　と書ける。

　ｚ=1/ｙ　とすれば、　ｙ³+（1/ｙ）³=ｙ³+1/ｙ³=2　より　(ｙ³)²-2ｙ³+1=0　　よって、ｙ³=1

　このとき、　ｙ=1、ω、ω²

　ｙ の値はいずれを使っても同じ結果になるので、ここでは、ｙ=1 を使います。すると、ｚ=1

　よって、3つの ｘ の値は、

　　ｘ=-ｙ-ｚ=-1-1=-2　、ｘ=-ｙω²-ｚω=-ω²-ω=1　、ｘ=-ｙω-ｚω²=-ω-ω²=1


　本来なら、極形式や３乗根を用いるのですが、今回はたまたまこのようにできた、という
わけです。通常は、暗算で、1つの根が ｘ=1 だから、因数分解して、

　　ｘ³-3ｘ+2=(ｘ-1)(ｘ-1)(ｘ+2)=0

より、この方程式を満たすｘの値は、1、-2 と求めます。