1089×1=1089 、1089×2=2178 、1089×3=3267 、1089×4=4356 、1089×5=5445
1089×9=9801 、1089×8=8712 、1089×7=7623 、1089×6=6534 、1089×5=5445
上の段と下の段の計算結果が左右対称になっている。
1/9801=0.000102030405060708091011121314151617181920
2122232425262728293031323334353637383940…
1089+9801=1089+1089*9=1089*10=10890
1089+9801=1089*2+1089*2*4=2178+2178*4=2178+8712
よおすけさんから、「１０８９＝３３×３３」というご教示をいただいた。
（平成２３年７月９日付け）
ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年７月９日付け）
ｐ進法では、
[1，0，p-2，p-1]＝ｐ3＋(ｐ-2)ｐ＋ｐ-1
＝ｐ3＋ｐ2−2p＋p-1
＝ｐ3＋ｐ2−p-1
＝ｐ2(ｐ+1)−(ｐ+1)
＝(ｐ+1)(ｐ2-1)
＝(ｐ+1)(ｐ+1)(ｐ-1)
＝(ｐ-1)(ｐ+1)2
よって、ｐ-1 が平方数であれば、 [1，0，p-2，p-1] は平方数である。
したがって、ｐ＝10 のとき、ｐ-1＝９ は平方数で、 1089＝9・112＝332 である。
そこで、「私的数学塾 投稿一覧」の「333・・・で思い出したこと」より、
3×3=09
33×33=1089
333×333=110889
3333×3333=11108889
33333×33333=1111088889
333333×333333=111110888889
（共通する規則性） 0の前後に1と8を付ける。
広島工業大学 大川研究室より、上記以外にも面白い性質を紹介しているサイトをご教示
いただいた。（平成２３年７月９日付け）
HPサイト「１２さんすう３４数学５Go!」のお勉強コーナー 「１０８９」 「続１０８９」
「１０８９」は、数字マジックではお馴染みですね。
A＞C とする３桁の数ABCで、ＡＢＣ−ＣＢＡ＝Ｄ９Ｆとすると、Ｄ９Ｆ＋Ｆ９Ｄ＝１０８９ となる。
A＝C、すなわち、ABCが回文数なら、０
（証明） D9F、F9Dの9の箇所をEとして、
前半の差： A＞Cより、C-A＜0
一の位 10+C-A＝F
十の位 10+B-B-1＝E よって、E＝9 でなければならない。
百の位 A-C-1＝D
後半の和： D9Fは、(A-C-1)*100＋9*10＋(10+C-A)＝99*(A-C)
F9Dは、(10+C-A)*100＋9*10＋(A-C-1)=1089+99*(C-A)
したがって、D9F＋F9D＝1089 となる。 （証終）
（追記） 平成２７年６月２１日付け
「世界がザワついた秘映像 ビートたけしの知らないニュース 第６弾」（テレビ朝日系）
で、「ビートたけしの計算」として、この話題が取り上げられた。たけしさんが証明しようと
するのを周りのコメンテーター達が止めていたが、上記の証明をみると、それが正解で
したね！
ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年７月９日付け）
ｐ進法では、A＞C のとき、
{A，B，C]−[C，B，A]＝(A-C)ｐ2＋C-A
＝(A-C-1)ｐ2＋(ｐ-1)ｐ＋(ｐ-A+C)
＝[A-C-1，p-1，p-A+C]
これとこれの逆順を加えると、
[A-C-1，p-1，p-A+C]＋[p-A+C，p-1，A-C-1]
＝(A-C-1)ｐ2＋(ｐ-1)ｐ＋(ｐ-A+C)＋(ｐ-A+C)ｐ2＋(ｐ-1)ｐ＋(A-C-1)
＝(ｐ-1)ｐ2＋2(ｐ-1)ｐ＋(ｐ-1)
＝(ｐ-1)（ｐ2＋2ｐ＋1)
＝(ｐ-1)(ｐ+1)2
＝[1，0，p-2，p-1]
上記の計算からも分かるように、 [1，0，p-2，p-1]＝(ｐ-1)(ｐ+1)2 は役に立つ式のよう
です。
同様に、 [1，1，0，p-2，p-2，p-1]＝(p-1)(ｐ2+p+1)2 が成り立つ。
実際に、 左辺＝ｐ5＋ｐ4＋(ｐ-2)ｐ2＋(ｐ-2)ｐ＋(ｐ-1)
＝ｐ5＋ｐ4＋ｐ3-ｐ2-ｐ-1
＝ｐ3(ｐ2＋ｐ＋1)−(ｐ2＋ｐ＋1)
＝(ｐ3−1)(ｐ2＋ｐ＋1)＝(p-1)(ｐ2+p+1)2＝右辺
一般に、
[1，1，･･･，1，0，p-2，p-2，･･･，p-2，p-1]＝(ｐ-1)(ｐn+･･･+ｐ+1)2
が成り立つ。ただし、左辺の1の数、p-2の数を ｎ とする。
ｐ＝10 とすると、
3×3=09
33×33=1089
333×333=110889
3333×3333=11108889
33333×33333=1111088889
333333×333333=111110888889
等が得られる。
ｐ-1が平方数であるとき、ｑ2＝p-1とすると、333×333=110889に相当する式は
[ｑ，ｑ，ｑ]×[ｑ，ｑ，ｑ]＝[1，1，0，p-2，p-2，p-1]
である。実際に、
[ｑ，ｑ，ｑ]×[ｑ，ｑ，ｑ]＝ｑ(ｐ2＋ｐ＋1)×ｑ(ｐ2＋ｐ＋1)
＝ｑ2(ｐ2+p+1)2
＝(p-1)(ｐ2+p+1)2
＝[1，1，0，p-2，p-2，p-1]
「不思議な数１０８９」と題して、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんが当
ＨＰの掲示板「出会いの泉」に平成２４年８月２６日付けで書き込まれた。
３つの平方数の和が平方数になる数は、例えば、３2＋４2＋１２2＝１３2 などありますが、
これを２つのパターンで表せる数があります。それが、１０８９(＝３３2)です。
１2＋８2＋３２2＝３３2 、４2＋７2＋３２2＝３３2
とはいえ、３３2−３２2 の差が６５で、２つの平方数の和で６５になるパターンが２つあるに
すぎませんが。なぜ、１０８９を出したかというと、３つの平方数の和が平方数になるパターン
が２つある最小の数が１０８９だから・・・。
らすかるさんからのコメントです。（平成２４年８月２６日付け）
１2＋４2＋８2＝９2 、４2＋４2＋７2＝９2 もありますが、３つの「相異なる」平方数の和とい
うことですか？
もしそうならば、 ２2＋１０2＋１１2＝１５2 、２2＋５2＋１４2＝１５2 ではどうでしょうか？
５2＋１０2＋１０2＝１５2 があって、パターンが３つだからNGでしょうか？
それでも、 １２2＋１５2＋１６2＝２５2 、９2＋１２2＋２０2＝２５2 という「３つの平方数の
和が平方数になるパターンがちょうど２つあり、かつ、３つの平方数が相異なる」となってい
る例もありますが…。
よおすけさんからのコメントです。（平成２４年８月２６日付け）
１０８９が最小というのは検証不足でした。今回のは、３つの「相違なる」平方数の和には
こだわってはいません。３つの平方数の和が平方数になるパターンが２つ以上できる数が
あるか、を重点に考えていたので・・・。３３2より小さい数でも成り立つ例があったことは知
りませんでした。
