物を数えるとき、「１、２、３、・・・」と順に読み上げたり、または「１、２、３、・・・」と指を折っ
たりする動作を人間は成長する過程でいつ頃獲得するのだろうか？私自身あまり記憶が
定かではない。何れにせよ、物を数えるということは、自然数との一対一の対応そのもの
である。
ここで、次のような事実が知られている。
０ から ９ までの数をそれぞれ３倍して１０個の数を求めると、それらの下位１桁に
は、０ から ９ までがどれも１回ずつ現れる。
実際に計算してみると、
０ 、３ 、６ 、９ 、１２ 、１５ 、１８ 、２１ 、２４ 、２７
となるので、確かに成り立つことは分かる。
このことを別な視点でもっともらしく証明してみよう。
（証明） 集合 Ａ＝｛ ０ ，１ ，２ ，３ ，４ ，５ ，６ ，７ ，８ ，９ ｝とし、集合 Ａ から集合 Ａ への
写像 Ｆ を、 Ｆ（ｘ）＝３ｘ （ｍｏｄ １０） と定義する。Ｆ は明らかに、Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ である。
さらに、Ｆ は、単射である。
実際に、 Ｆ（ｘ）＝Ｆ（ｙ） とすると、 ３ｘ （ｍｏｄ １０）＝３ｙ （ｍｏｄ １０）
すなわち、 ３（ｘ−ｙ）≡０ （ｍｏｄ １０） において、３と１０は互いに素なので、
ｘ−ｙ≡０ （ｍｏｄ １０）
ｘ、ｙ はともに集合 Ａ の要素なので、 ｘ＝ｙ が成り立つ。
したがって、写像 Ｆ は、単射である。
このとき、集合 Ａ から集合 Ａ への写像 Ｆ は全単射となり、題意が示された。 （証終）
このような考え方を用いると、
０ から ９９９ までの数をそれぞれ３倍して１０００個の数を求めると、それらの下位
３桁には、０ から ９９９ までがどれも１回ずつ現れる。
という事実も一瞬で明らかとなるだろう。
（参考文献： 野崎昭弘 著 数学屋の楽しみ （白揚社））
