・整列　　　　　　　　　 　 　 　　 　　　　　　　　　　　ＧＡＩ 氏

　次の分数を小数に直してお楽しみ下さい。

　１/８１＝０．０１２３４５６７９０１２３４５７・・・・・

　１/８９１＝０．００１１２２３３４４５５６６７７９・・・・・

　１/８９９１＝０．０００１１１２２２３３３４４４５５６・・・・・

　１/８９９９１＝０．００００１１１１２２２２３３３３４４４・・・・・

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・


（コメント）　う〜む、なるほど！


　この話題について、攻略法さんが考察された。（平成２３年８月２５日付け）

　上記の分数を小数に直してみると、きれいに並びますね！

＜数の特徴＞　１/（３⁴・１１…１）＝１/（９・９９…９）

　　９・９９…９　の計算

　　　９・９９…９＝９・（１０^ｎ−１）＝９・１０^ｎ−９＝９０…０−９　　（※　n個の０　）

　　１の前に９を追加する　または　８の後に９を追加する

　　　1/81=0.{012345679}
　　　1/891=0.{001122334455667789}
　　　1/8991=0.{000111222333444555666777889}
　　　1/89991=0.{000011112222333344445555666677778889}
　　　1/899991=0.{000001111122222333334444455555666667777788889}


　「９の並び」で１つ追加します。

「１/９９…９² の小数展開」

　　９９…９²　の計算

　　　９９…９²＝（１０^ｎ−１）²

　　　　　　　　＝（１０^ｎ−２）・１０^ｎ＋１＝(１０…０−２)・１０…０＋１　（※　n個の０　）

　　８の前に９、後に０を追加する

　　　1/9²=1/81=0.{012345679}
　　　1/99²=1/9801=0.{0001020304050607080910111213141516 … 95969799}
　　　1/999²=1/998001
　　　　　　　=0.{000001002003004005006007008009
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　010011012013014015016 … 995996997999}


　この話題について、攻略法さんからの続報です。（平成２３年９月７日付け）

　冒頭の等式を次のように変形すると、分数部分の対比ができます。

1/81=1/9²=0.{012345679}
1/891=1/9・99=11/99・99=11/99²=0.{001122334455667789}
1/8991=1/9・999=111/999・999=111/999²=0.{000111222333444555666777889}
　：
　：

　いくつか追加します。

・1/8181…81　※81がｎ個

1/81=0.{012345679}
1/8181=0.{000122234445666788901112333455567779}
1/818181=0.{000001222223444445666667888890111112333334555556777779}
　：
　：

・123456789・8=987654312　の一般化

　ｎ進法で、[1234…(n-1)]・(n-2)=[(n-1)…4312]

3進法で、 12・1=12
4進法で、 123・2=312
5進法で、 1234・3=4312
6進法で、 12345・4=54312
7進法で、 123456・5=654312
　：
　：

（→　参考：「１２３４５６７８９」）


・並び 12345679・8=98765432　の一般化

　n進法で、 [123…(n-3)(n-1)]・(n-2)=[(n-1)…432]

4進法で、 13・2=32
5進法で、 124・3=432
6進法で、 1235・4=5432
　：
　：

（→　参考：「１２３４５６７８９」）

・同じ数字の数を増やす

1122334455667789・8=8978675645342312
※並びが12,3、23,4、45,6、…、78,9、89,0

111222333444555666777889・8=889778667556445334223112
※112,3、223,4、445,6、…、778,9、889,0
　：
　：

n進法でも同様

8進法で、 111222333444555667・6=667556445334223112
11進法で 11122233344455566677788899A・9=99A889778667556445334223112

・数字マジックの一般化

12345679・[P]・9=[PPPPPPPPP]=[P]・111111111　9個のP（Pは0〜9）

・n進法　[123…(n-3)(n-1)]・(n-1)=[111…111]　　※n-1個の1

（→　参考：「１２３４５６７８９」）

・同じ数字の数を増やす

1122334455667789・[PQ]・9=[PQPQPQPQPQPQPQPQ]=[PQ]・10101010101010101　9個のPQ

111222333444555666777889・[PQR]・9
=[PQRPQRPQRPQRPQRPQRPQRPQRPQR]
=[PQR]・1001001001001001001001001　9個のPQR
　：
　：

n進法でも同様

8進法　　111122223333444455556667・7=1000100010001000100010001
11進法　11122233344455566677788899A・A=1001001001001001001001001001