・　赤いぼうし　　 　　 　　　　 　　　　　　　　　　　Ｓ．Ｈ氏

　このページは、平成２１年１月１日に書いている。今年も多くの塾生達からメールで「謹賀
新年！」のご挨拶を頂いた。ある女子高生からは、「今度また絡みに行くね．．．！」などと
怖い一言も。また、歌手の岩崎宏美さんを始め多くの方から年賀状を頂いた。

　その中で毎年楽しみにしているのが北大の中村先生からの年賀状だ。定例的な挨拶は
簡単に済ませられて、いろいろな文献の紹介の方が中心なのだが、コンパクトに要点がま
とめられていて浅学な我が身は、いつもはっとさせられる。

　今年は「赤いぼうし」の話題であった。１９８４年に、「文 ： 野崎昭弘　絵 ： 安野光雅」で
童話屋から刊行された、「美しい数学」シリーズの中の絵本で、低学年向けとあるが、内
容は、大人でも読み解くことが楽しくなるような、「十分数学的」な書籍である。

　北大の近くの高校で昨年行った出前講義での話題とのことである。

　赤い帽子を３つ、白い帽子を２つ持った帽子屋さんが、太郎さん、花子さんともう一
人（例えば、これを読者のあなたとしよう！）の３人の前に現れた。

　３人が目をつぶっている間に帽子屋さんが３人に無作為に帽子を被せた。

　どの人も自分の帽子は見えないが、他の２人の帽子は見ることができる。

　帽子屋さんが、「太郎さん→花子さん→あなた」の順番で質問をする。

帽子屋さん：「太郎さん、あなたの帽子は何色ですか？」

　太 郎さん：「う〜む。分かりません！」

帽子屋さん：「花子さん、あなたの帽子は何色ですか？」

　花 子さん：「全然、分かりません！」

帽子屋さん：「それでは、あなたの帽子は何色ですか？」

　帽子屋さんの質問に対して、太郎さん、花子さんの答え方から、あなたは、自分の
帽子が何色か必ず分かる（筈）！

　さて、あなたの帽子の色は何色？

　かなり有名な問題で、以前、ＴＶのクイズ番組でみたような．．．予感。

　答えは「赤い帽子」であるが、次のように論理的に考えると答えが導かれる。

　まず、起こりうる全ての場合は、下記の（１）〜（７）の７通りしかない。太郎さん、花子さん
の答え方から、「あなたの帽子の色」の起こりうる場合が絞られてくる。

（２）の場合、太郎さんから見て、「赤１、白１」なので、太郎さんが「分からない」と答えるの
は当然だ。ただ、次の花子さんから見て、「あなた」は白なので、もし、自分が白だったら、
太郎さんは「赤色」と答えるはずなのに「分からない」と答えている。ということは、花子さん
は自分の帽子が赤と答えられる筈だ。なのに、花子さんは「分からない」と答えている。
　よって、この場合は起こり得ない。

（５）の場合、太郎さんから見て、「白２」なので、太郎さんは「赤色」と答えられる筈なのに
「分からない」と答えている。
　よって、この場合は起こり得ない。

（６）の場合、太郎さんから見て、「赤１、白１」なので、太郎さんが「分からない」と答えるの
は当然だ。ただ、次の花子さんから見て、「白２」なので、花子さんは「赤色」と答えられるは
ずなのに「分からない」と答えている。
　よって、この場合は起こり得ない。

以上から、残りの場合全てにおいて、あなたの帽子の色は「赤色」であることを示している。

　厳密に、この問題に取り組むには上表のような吟味が必要と思うが、会話の中で、この
問題を考えるには仰々しい。

　次のように軽妙に考える方が、より実戦的であろう。

　「私が、白だと仮定する。最初に答えた太郎さんが分からないということで、花子さんは赤
と気がつくはずだ！ところが、花子さんは分からないという。ということは、私は赤なんだ！」

　同様の問題が巷間に流布しているようだ。

　３人 Ａ、Ｂ、Ｃ がいて、Ａの後にＢ、Ｂの後にＣと、縦一列に並ぶ。前に並ぶ人の帽子の色
は分かるが、自分自身と自分の後ろに並ぶ人の帽子の色は分からないものとする。
　また、３人は、赤い帽子が３個、白い帽子が２個のうちのどれかを被っていることは知って
いる。

　誰かがＣさんに聞いた。　「あなたの帽子は何色ですか？」

　Ｃさん：「分かりません。」

　また、誰かがＢさんに聞いた。　「あなたの帽子は何色ですか？」

　Ｂさん：「分かりません。」

　Ｂさん、Ｃさんの返事を聞いて、Ａさんは自分の帽子が何色か分かったという。

　さて、あなたはＡさんの帽子が何色か分かりますか？


　Ｃさんが「分からない」ということは、Ａさん、Ｂさんの帽子は、「赤、赤」　または　「赤、白」
の何れかである。
　だから、もし、Ａさんが「白」と仮定すると、Ｂさんは「赤」と分かるはずである。それが分か
らないということなので、Ａさんは「赤」と決まってしまうのだ。


（コメント）　ｚｋ４３ さんからの情報によると、「赤い帽子の問題」と同様の問題が、多胡 輝
　　　　　　さんの「頭の体操」第１巻にあるそうです。何でも、

　　　　　　　「囚人３人に帽子をかぶせ、自分の帽子の色が分かったら出獄できる」

　　　　　　というような設定だったとか．．．。制限時間１０時間くらいの最難関問題だったら
　　　　　　しいです。今度図書館に行って、のぞいてみようっと！


（追記）　令和元年１１月１２日付け

　上記と同様の問題に最近遭遇したので考えてみたい。

　３人Ａ、Ｂ、Ｃが１列に前方を向いて並んでいる。今、帽子が白３個、黒２個用意されていて
そこから１つずつ選んで、Ａ、Ｂ、Ｃに分からないようにＤさんが３人Ａ、Ｂ、Ｃに帽子を被せる。
３人Ａ、Ｂ、Ｃは、自分が被っている帽子が何色か分からないが自分の前の人の帽子の色
は分かる。

　そこで、Ｄさんは３人に「自分の帽子の色が分かる人はいますか？」と尋ねたが誰からも
返答がなかった。もう一度同じことを聞いても、やはり誰からも返答がなかった。

　同じことを、もう一度尋ねたら、３人Ａ、Ｂ、Ｃのうちの誰かが正解を答えた。果たして誰が
正解したのだろうか？

　起こり得る可能性は、下表の通りで７通りある。

　１回目のＤさんの質問に対し返答がなかったということは、（７）は起こりえないということ。
（７）では、黒２が見えているので、自分の帽子の色は白と分かるはず。

　（７）は起こりえないので、Ａ、Ｂの少なくとも一人の帽子の色は白ということが分かる。
よって、２回目のＤさんの質問に対し返答がなかったということは、（４）（６）は起こりえない
ということ。（４）（６）ではＡが黒なので、Ｂは白と分かるはず。

　そうすると、何れの場合もＡは白と分かる。よって、正解した人は、Ａである。


（追記）　令和４年２月６日付け

　スマリヤンの論理パズル「正直村とウソつき村」に代わって、世紀の変わり目頃から、この
ページのような「帽子パズル」の人気が出てきた。自分の帽子は見えないが他人の帽子は
見えるという状況で、会話などの情報から自分の帽子の色を当てるというものである。

　このタイプの問題としては、上記でｚｋ４３ さんも話題にしている「賢者の問題」が有名だろ
う。

　囚人の３人の賢者に、３つの青い帽子と２つの赤い帽子を見せながら、どれかを被せた。
看守は、「自分の帽子が青と確信したら直ちに逃げ出せるが、それが赤だったら死刑」と言
う。
　看守の言葉を聞いて、３人の賢者はしばらく躊躇していたが、他人の様子を見て、３人とも
自分の帽子は青いと判断した。どうしてだろうか？

（解）　３人の帽子のうち２つが赤だったら、青の帽子を被っている者がすぐ気がつくはずだ
　　　が、直ぐに逃げ出さなかった。

　　ということは、赤の帽子は高々１人。すると、青の帽子を被っている者は気がついて逃げ
　出すはずだが、逃げ出していない。

　ということは、３人の帽子の色はすべて青であることが分かる。　　（終）


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年２月７日付け）

　「賢者の問題」につきまして、次のようなバージョンの問題はいかがでしょうか。

　囚人の３人の賢者Ａ、Ｂ、Ｃに、７つの帽子が見せられた。７つの帽子のうち、２つは赤色、
２つは黄色、３つは青色であった。

　刑務所長から「以後、一切の会話を禁ずる」と３人は言われた。そして、３人は目隠しをさ
れ、それぞれの頭に帽子がひとつ被らせられた。残りの４つの帽子はどこかに持ち去られ
た。

　目隠しが外されたあと、３人それぞれに４枚づつのカードが配られた。

　各自の手元にある１枚目のカードには、「１枚目：私が被っている帽子は赤色の帽子では
ない、このことが私にはわかる。」と書かれていた。

　２枚目のカードには、「２枚目：私が被っている帽子は黄色の帽子ではない、このことが私
にはわかる。」と書かれていた。

　３枚目のカードには、「３枚目：私が被っている帽子は青色の帽子ではない、このことが私
にはわかる。」と書かれていた。

　４枚目のカードには、「１枚目のカードも２枚目のカードも３枚目のカードも、その内容は私
の状況にとっては真ではない。」と書かれていた。

　刑務所長が言った。「これから各自に順番に質問を出す。質問に対する解答は、各自に与
えられたカードの中から１枚または複数枚を頭上にあげることで行うこと。」

　刑務所長がＡに質問した。

「自分に与えられた状況に合致するカードはどれか。全てを上げよ。」

　Ａは黙って４枚目のカードを頭上に上げた。

　刑務所長がＢに質問した。

「自分に与えられた状況に合致するカードはどれか。全てを上げよ。」

　Ｂは黙って４枚目のカードを頭上に上げた。

　刑務所長がＣに質問した。

「自分に与えられた状況に合致するカードはどれか。全てを上げよ。」

　Ｃはどのカードをあげるべきか。


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年２月１１日付け）

　ＣにはＢの立場に立って考えることが必要でした。

　仮にＢの視点からＣ自身の帽子の色が赤色ないし黄色だったとしましょう。このときのＢの
思考をトレースします。

　まず、Ａが４枚目のカードを頭上に上げたことが重要です。

　Ａが、《ＢＣともに赤色》ないし《ＢＣともに黄色》を見ていたとしたならば、Ａは、四枚目のカ
ードをあげることはありません。

　なんとならば、赤色の帽子は二個しかなく、また、黄色の帽子は二個しかないので、ＢＣが
同色で、かつ、その色が赤または黄色だとしたならば、その同色の帽子をＡ自身が被ってい
ることはありえない、このようにＡが考えるはずだからです。

　実際には、Ａが４枚目のカードを頭上に上げたのですから、《Ｃが赤色ないし黄色の帽子を
被っていたときには》Ｂの視点からは、【Ｃの帽子の色は自分とは異なる】とわかったはずで
す。

　仮にＢの視点からＣ自身の帽子の色が赤色ないし黄色だったときのＢの思考をトレースし
たのですが、実際には、Ｂは、４枚目のカードを頭上にあげました。

　これらのことから、Ｃは、自分の帽子の色が青であると確信できます。あげるべきカードは

「１枚目：私が被っている帽子は赤色の帽子ではない、このことが私にはわかる。」

「２枚目：私が被っている帽子は黄色の帽子ではない、このことが私にはわかる。」

の両方となります。



　　以下、工事中！