平行でない２本の直線が必ず１点で交わることはユークリッド幾何の教える所である。
いま上図に次のような性質をもつ１個の円と１本の直線を組にして順次書き加える。
（イ） 円の中心は、常に直線 Ｌ と直線 Ｍ との交点である。
（ロ） 書き加える直線は直線 Ｌ と直線 Ｍ の交点を常に通る。
（ハ） 書き加えられた円は何れも重ならない。
（ニ） 書き加えられたどの直線も、それまでに書き加えられた直線および直線 Ｌ 、Ｍ と
は重ならない。
ｎ 個の円と ｎ 本の直線を書き加えたときの交点の数を、ａｎ とおくことにする。
たとえば、ｎ＝１ のとき、
明らかに、 ａ1＝７ である。
次に、ｎ＝２ のとき、
明らかに、 ａ2＝１７ である。
一般に、ａｎ を ｎ の式で表すことが目標である。
さて、この交点を数え上げる方法として、次の２つが考えられる。
（方法１） １個の円と１本の直線を書き加えた場合に増加する交点数に注目する方法
（方法２） １個の円と１本の直線を書き加えて得られる図の交点数を一括で求める方法
（１個の円と１本の直線の交点数は常に２であるという性質が活躍する！）
（方法１）は漸化式を考えるときの基本的思考であるが、この場合は仇となる。（方法２）
で考えると混乱なく容易に交点数を直接的に求めることが出来る。ここら辺がこの問題の
急所であり、作問者が仕掛けたトラップ（罠）なのだろう。
いま、直線 Ｌ と直線 Ｍ が交わっている図に、ｎ−１ 個の円と ｎ−１ 本の直線が書き
加えられているものとする。ただし、ｎ≧１ とする。
その図に、さらに、１ 個の円と １ 本の直線を書き加える。すると、その図には、ｎ 個の
円と ｎ＋２ 本の直線があるので、交点の総数は、直線 Ｌ と直線 Ｍ との交点も含めて、
ａｎ ＝ ２×（ｎ＋２）×ｎ＋１ ＝ ２ｎ2＋４ｎ＋１
となる。
（方法１）による解法が如何に大変かは、次の計算を見れば了解されるだろう。
いま、直線 Ｌ と直線 Ｍ が交わっている図に、ｎ 個の円と ｎ 本の直線が書き加えられて
いるものとする。ただし、ｎ≧１ とする。このときの交点数が、ａｎ である。
その図に、さらに、１ 個の円と １ 本の直線を書き加えたときの交点数が、ａｎ+1 である。
交点の増加数を求めよう。
書き加えた円は、 ｎ＋３ 本の直線と新規に交わるので、その交点数は、 ２（ｎ＋３）
書き加えた直線は、もとの ｎ 個の円と新規に交わるので、その交点数は、 ２ｎ
したがって、 ａｎ+1 ＝ ａｎ ＋ ２（ｎ＋３） ＋２ｎ ＝ ａｎ ＋ ４ｎ＋６
ａ1＝７ なので、この漸化式を解くと、（→参考：「漸化式の全て」）
ａｎ ＝ ２ｎ2＋４ｎ＋１
となる。
